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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\numsujet}{Secours}
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\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3}
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\def\repartpts{6,14,6,4,4}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
  {Fonctions / Exponentielle},
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  {Géométrie analytique / Produit scalaire}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
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\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}

\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
  \ExamReponsesQCM%
    [Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={a.},Largeur=#2,Swap]%
    {{#3},{#4},{#5},{#6}}%
    <rowsep=4pt,colsep=8pt>
}

\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
  \begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \xdef\j{\inteval{\i+2}}%
      \hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
      \hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
    }%
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.25cm}
  \settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
  \begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
    La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.75cm}
  \hfill\pictostamp[radius=1.875cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}

  \smallskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
  \hypertarget{exon#1}{}%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}

  \medskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{fr.v2}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}

\vspace{0.25cm}

\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques.

\medskip

Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}

\vspace{0.25cm}

\sujetbaclabelexos{3}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================

\smallskip

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

\medskip

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\medskip

\begin{AutomatQuestEAM}{1}
La position $p$ d'un objet et la position $p'$ de son image au travers d'une lentille de distance focale $f$ sont liées par la relation :
\[
  \dfrac{1}{p'} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{f}
\]
On a alors :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$p' = \dfrac{fp}{f+p}$}{$p' = \dfrac{p-f}{fp}$}{$p' = \dfrac{p+f}{fp}$}{$p' = \dfrac{fp}{f-p}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{2}
L'expression $\dfrac{2^5 \times 2^3}{2^7}$ est égale à :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$2^{15}$}{$2^8$}{$1$}{$2$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{3}
Un article coûte $80$ euros. Son prix augmente de $20\,\%$. Le nouveau prix est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$100$ euros}{$64$ euros}{$96$ euros}{$16$ euros}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Le plan est muni d'un repère. On considère la droite $d$ passant par les points $A(1;3)$ et $B(3;7)$.

Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{1}{2}$}{$4$}{$2$}{$-2$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{5}
Dans un lycée, $60\,\%$ des élèves sont demi-pensionnaires. Parmi les demi-pensionnaires, un quart sont des garçons.

La proportion de garçons demi-pensionnaires par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$85\,\%$}{$35\,\%$}{$15\,\%$}{$1{,}5\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

\begin{AutomatQuestEAM}{6}
On considère la relation :%
\[
  V = \dfrac{t^2}{u}
\]
où $t$ et $u$ sont des nombres réels non nuls.

Lorsque $V = 20$ et $u = 5$, la valeur de $t$ est égale à :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$10$ ou $-10$}{$5$ ou $-5$}{$\sqrt{10}$ ou $-\sqrt{10}$}{impossible}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{7}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-6mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.25cm,y=0.25cm,Xmin=-10,Xmax=10,Xgrille=5,Xgrilles=1,Ymin=-10,Ymax=10,Ygrille=5,Ygrilles=1]<Theme=gris>
  \TracerAxesGrilles*[Elargir=2.5mm]{-10,-5,5,10}{-10,-5,5,10}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=purple]{1.5*x-1}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

Avec la précision permise par le graphique, une équation de la droite représentée ci-contre est :

\smallskip

\eamreponsesautom[1]<\linewidth-6.75cm>{$y = -x + \dfrac{2}{3}$}{$y = \dfrac{2}{3}x - 1$}{$y = -x + \dfrac{3}{2}$}{$y = \dfrac{3}{2}x - 1$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{8}
$\dfrac{\sqrt{98} + 2\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ est égal à :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$8\sqrt{2}$}{$9$}{$11$}{$9\sqrt{2}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{9}
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x - 4)(-x + 1)$ admet pour tableau de signes :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]%
  {\\[4pt]%
  \begin{tikzpicture}
    \tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$-1$,$-2$,$+\infty$}
    \tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
  \end{tikzpicture}
  }%
  {\\[4pt]%
  \begin{tikzpicture}
    \tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$-1$,$-2$,$+\infty$}
    \tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
  \end{tikzpicture}
  }%
  {\\[4pt]%
  \begin{tikzpicture}
    \tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$1$,$2$,$+\infty$}
    \tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
  \end{tikzpicture}
  }%
  {\\[4pt]%
  \begin{tikzpicture}
    \tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$1$,$2$,$+\infty$}
    \tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
  \end{tikzpicture}
  }
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

\begin{AutomatQuestEAM}{10}
Une fonction $f$ est représentée ci-dessous.

\begin{Centrage}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=0.95cm,y=0.95cm,Xmin=-5.25,Xmax=7.75,Xgrilles=1,Ymin=-4.25,Ymax=4.25,Ygrilles=1]
    \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-5,-4,...,7}{-4,-3,...,4}
    \GenererPolynomeLagrange{-2,-1,1,3,5}{1,1,-2,1,1}
    \TracerCourbe[Couleur=teal]{polylagrange(x)}
    %\DefinirCourbeInterpo[Couleur=black,Trace,Tension=0.8]{(-3,-4)(-2.3,0)(-1.5,1.5)(-0.7,1)(0,-0.5)(1,-2)(2,-1.5)(3,1)(3.7,2.5)(4.3,3)(5,0.5)(5.3,-3)}
    \node[teal,font=\small,above] at (-2.5,-3) {$f$} ;
  \end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

Avec la précision permise par le graphique, l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \geqslant 1$ est :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]%
  {$[-\infty;-2] \cup [-3;3] \cup [5;+\infty]$}%
  {$[-2;-1] \cup [3;5]$}%
  {$\left]-\infty;-2\right[ \cup \left]-3;3\right[ \cup \left]5;+\infty\right[$}%
  {$\left]-2;-1\right[ \cup \left]3;5\right[$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{11}
On considère ci-dessous une série statistique :

\medskip

\hfill%
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.7\linewidth,colspec={Q[m,l]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
  Valeurs & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \\
  Effectifs & $10$ & $6$ & $4$ & $6$ & $4$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null

\medskip

La médiane de cette série est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$2$}{$1$}{$1{,}6$}{$0$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{12}
Parmi les expressions ci-dessous, laquelle \textbf{\underline{n'est pas égale}} à $4x^2 - 1$ ?

\smallskip

\eamreponsesautom[2]%
  {$(2x-1)(1+2x)$}%
  {$(1-2x)^2 + 4x - 2$}%
  {$(2x-1)^2$}%
  {$4(x+1)^2 - 5 - 8x$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================

\begin{ExerciceEAM}{1}
\textbf{Partie A : Étude graphique}

\medskip

On donne ci-dessous les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ de deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. L'une est la dérivée de l'autre.

On précise également que :
\begin{itemize}
  \item $\mathcal{C}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;9)$ et tangente l'axe des abscisses au point de coordonnées $(3;0)$,
  \item $\mathcal{C}'$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;3)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(1;0)$ et $(3;0)$.
\end{itemize}

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1.8cm,y=0.45cm,Xmin=-2,Xmax=7,Xgrille=0.25,Xgrilles=0.25,Ymin=-11,Ymax=15,Ygrille=1,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine]{-1,0,...,6}{-9,-6,...,12}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,RestreindreY]{exp(x)*(x-3)^2}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=red,RestreindreY]{exp(x)*(x^2-4*x+3)}
%  \node[blue,font=\small] at (-1,7) {$\mathcal{C}$} ;
%  \node[red,font=\small] at (-1,2.5) {$\mathcal{C}'$} ;
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item Donner un argument graphique qui montre que c'est bien la courbe $\mathcal{C}'$ qui représente la dérivée de la fonction représentée par la courbe $\mathcal{C}$, et non l'inverse.
  \item On note $f$ la fonction représentée par la courbe $\mathcal{C}$. Montrer qu'une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est $y = 3x + 9$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Afin d'établir l'efficacité d'un antibiotique, un biologiste étudie l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture.

À l'instant $t = 0$, le milieu contient une population initiale de bactéries et l'antibiotique est introduit dans le milieu.

La densité de population bactérienne (en milliers de bactéries par millilitre) peut être modélisée par la fonction $f$ représentée par $\mathcal{C}$ dans la partie A et définie pour tout réel $t$ par :
\[
  f(t) = \e^t(t^2 - 6t + 9)
\]
où $t$ représente le temps écoulé depuis le début de l'observation, exprimé en heure.

\medskip

\textbf{Données :} $\e^1 \approx 2{,}7$~;~$\e^3 \approx 20{,}1$

\begin{enumerate}[resume]
  \item Montrer que pour tout réel $t$, on a : $f(t) = \e^t(t-3)^2$.

  En déduire le signe de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
  \item Calculer $f(0)$ et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
  \item Montrer que la fonction dérivée de la fonction $f$ est définie, pour tout réel $t$, par :
  \[
    f'(t) = \e^t(t^2 - 4t + 3).
  \]
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Étudier le signe de $f'$ sur $\mathbb{R}$.
    \item Dresser le tableau des variations complet de la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\pagebreak

\begin{ExerciceEAM}{2}
On considère un château de cartes à N étages, représenté ci-dessous dans le cas $N = 3$.

On souhaite déterminer combien de cartes sont nécessaires pour construire un tel château.

\begin{Centrage}
  \colorlet{eamtechnocoulfond}{white}
  \begin{tikzpicture}[semithick,line join=bevel]
    %étage 1
    \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ;
    \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] ([xshift=1cm]0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ;
    \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] ([xshift=2cm]0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ;
    \draw (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) --++ (60:1) --++ (-60:1) --++ (60:1) --++ (-60:1) ;
    \filldraw[eamtechnocoulfond] (0,-0.025) circle[radius=0.8pt] (1,-0.025) circle[radius=0.8pt] (2,-0.025) circle[radius=0.8pt] (3,-0.025) circle[radius=0.8pt];
    \node[font=\footnotesize\sffamily,right] at (3,{0.25*sqrt(2)}) {Étage 1} ;
    %étage 2
    \begin{scope}[shift={(0.5,{0.5*sqrt(2)+0.2})}]
      \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ;
      \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] ([xshift=1cm]0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ;
      \draw (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) --++ (60:1) --++ (-60:1) ;
      \draw (0,-0.025) -- (2,-0.025) ;
      \filldraw[eamtechnocoulfond] (0,-0.025) circle[radius=0.8pt] (1,-0.025) circle[radius=0.8pt] (2,-0.025) circle[radius=0.8pt] ;
      \node[font=\footnotesize\sffamily,right] at (2.5,{0.25*sqrt(2)}) {Étage 2} ;
    \end{scope}
    %étage 2
    \begin{scope}[shift={(1,{1*sqrt(2)+0.4})}]
      \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ;
      \draw (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) ;
      \draw (0,-0.025) -- (1,-0.025) ;
      \filldraw[eamtechnocoulfond] (0,-0.025) circle[radius=0.8pt] (1,-0.025) circle[radius=0.8pt] (60:1) circle[radius=0.8pt] ;
      \node[font=\footnotesize\sffamily,right] at (2,{0.25*sqrt(2)}) {Étage 3} ;
    \end{scope}
  \end{tikzpicture}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item Combien de triangles \og pointe en haut \fg{} peut-on dénombrer à l'étage $1$ dans un château à N étages ?
  \item Combien de triangles \og pointe en haut \fg{} sont nécessaires pour construire tout le château à N étages ?
  \item Justifier que le nombre de cartes nécessaires pour construire ce château à N étages est égal à :
  \[
    \dfrac{3N^2 + N}{2}
  \]
  \item On dispose d'un paquet de $54$ cartes, combien d'étages peut comporter au maximum un château construit avec ces cartes ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\pagebreak

\begin{ExerciceEAM}{3}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-6mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.8cm,y=0.8cm,Xmin=-1.5,Xmax=6.5,Xgrilles=0.1,Ymin=-0.75,Ymax=10.75,Ygrilles=0.1]<Theme=gris>
  \draw[thick,fill=gray!25] (0,10)--(5,10)--(5,6)--(4,0)--(0,3)--cycle ;
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-1,0,...,6}{0,...,10}
  \draw[thick] (0,10)--(5,10)--(5,6)--(4,0)--(0,3)--cycle ;
  \draw[thick] (0,0)--(0,10)--(5,10)--(5,0)--cycle ;
  \MarquerPts[Couleur=black,Style=+]{(0,10)/$A$/above right,(5,10)/$B$/above right,(5,0)/$C$/above right,(0,3)/$D$/above right,(5,6)/$E$/above right,(4,0)/$F$/above right,(0,0)/$O$/above right}
  \draw[pflaxes,->] (0,0) -- (1,0) node[below,midway] {$\vect{\imath}$}
  (0,0) -- (0,1) node[left,midway] {$\vect{\jmath}$};
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\Rij$.

Le rectangle OABC représenté ci-dessous modélise une scène de spectacle vue de dessus.

On place un projecteur au point F qui permet d'éclairer la partie du plan délimitée par le polygone ABEFD.

\begin{enumerate}
  \item Donner sans justification les coordonnées des points A, B, C, D, E, F dans le repère $\Rij$.

  \item Un visiteur affirme que la partie du plan éclairée par ce projecteur représente plus de $80\,\%$ de l'aire totale de la scène.

  Cette affirmation est-elle exacte ?

  \item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{FD}$ et $\vect{FE}$ et calculer le produit scalaire $\vect{FD} \cdot \vect{FE}$.

  \item En déduire une valeur exacte du cosinus de l'angle $\widehat{DFE}$.

  \item Expliquer comment construire à l'aide d'une équerre le point M appartenant au segment $[DF]$ tel que

  ${\vect{FD} \cdot \vect{FM} = 14}$.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\end{document}
