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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\session}{2026}
\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{Spécialité}
\newcommand{\lieu}{Polynésie}
\newcommand{\jour}{12}
\newcommand{\mois}{juin}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATSPEGEPO1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{6,14,8,6}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
  {Probabilités / Suites / Python},
  {Fonction exponentielle}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
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\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}

\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
  \ExamReponsesQCM%
    [Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={a.},Largeur=#2,Swap]%
    {{#3},{#4},{#5},{#6}}%
    <rowsep=4pt,colsep=8pt>
}

\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
  \begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \xdef\j{\inteval{\i+2}}%
      \hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
      \hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
    }%
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.25cm}
  \settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
  \begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
    La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.75cm}
  \hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}

  \smallskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
  \hypertarget{exon#1}{}%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}

  \medskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{poly}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}

\vspace{0.25cm}

\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques.

\medskip

Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}

\vspace{0.25cm}

\sujetbaclabelexos{2}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================

\smallskip

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur votre copie et indiquer votre réponse.}

\medskip

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\medskip

\begin{AutomatQuestEAM}{1}
Un article coûte $40$~€ et subit une augmentation de $30\,\%$.

Combien coûte-t-il après cette augmentation ?

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$40{,}3$~€}{$52$~€}{$12$~€}{$70$~€}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{2}
On considère l'équation : $(-0{,}5x + 3)(-5x - 4) = 0$.

Les solutions de cette équation sont :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{0{,}5}{3}$ et $\dfrac{5}{4}$}{$\dfrac{0{,}5}{3}$ et $-0{,}8$}{$6$ et $0{,}8$}{$6$ et $-0{,}8$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{3}
Un entraîneur choisit $8$ joueurs dans une équipe. Cela représente $20\,\%$ de l'équipe.

Combien y a-t-il de joueurs dans l'équipe ?

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$16$}{$20$}{$40$}{$32$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{4}
On peut calculer l'énergie cinétique d'un objet en mouvement. Cette énergie est notée $E_c$ et elle est donnée par la formule $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$ (où $E_c$ s'exprime en joules, $m$ représente la masse de l'objet en kg et $v$ sa vitesse en m/s.)

L'expression permettant d'exprimer la vitesse $v$ en fonction de $E_c$ et de $m$ est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$v = \dfrac{E_c^2}{2m}$}{$v = \sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}$}{$v = \sqrt{\dfrac{E_c}{2m}}$}{$v = \sqrt{2mE_c}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

\begin{AutomatQuestEAM}{5}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-8mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.75cm,y=0.75cm,Xmin=-3.5,Xmax=3.5,Xgrilles=0.2,Ymin=-3.5,Ymax=3.5,Ygrilles=0.2]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-3,-2,...,3}{-3,-2,...,3}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,ValeursInterdites=0]{1/x}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

On a représenté ci-contre la courbe de la fonction inverse définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

L'ensemble des solutions de l'inéquation $\dfrac{1}{x} \geqslant 2$ est :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]<\linewidth-5.75cm>{$\left]0\,;\,\dfrac{1}{2}\right]$}{$\left]0\,;\,2\right]$}{$\left[2\,;\,+\infty\right[$}{$\left]-\infty\,;\,0\right[ \cup \left[\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{6}
Le nombre $2^9 \times 5^7$ est égal à :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$10^{16}$}{$4 \times 10^7$}{$10^{63}$}{$4 \times 10^{14}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{7}
\hfill%
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.55cm,y=0.55cm,Xmin=-2.5,Xmax=9.5,Xgrilles=1,Ymin=-0.5,Ymax=6.5,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-2,-1,...,9}{0,1,...,6}
  \TracerCourbe[Couleur=blue]{-0.6*x+5.2}
  \node[font=\small,blue] at (-1.2,5.2) {$d$};
\end{GraphiqueTikz}%
\hfill\null

Parmi les équations réduites de droites proposées, laquelle est celle de la droite $d$ tracée dans le repère ci-contre ?

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$y = -5{,}2x + 8{,}6$}{$y = 0{,}6x + 5{,}2$}{$y = 5{,}2x + 8{,}6$}{$y = -0{,}6x + 5{,}2$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{8}
Quelle est la forme factorisée de l'expression $16x^2 - (x+1)^2$ ?

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$(3x-1)^2$}{$(3x-1)(5x+1)$}{$(15x-1)^2$}{$(15x-1)(17x+1)$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================

\begin{ExerciceEAM}{1}
Un club de vacances propose deux types d'activités à ses clients : des randonnées le matin et des activités nautiques l'après-midi.

On sait que :
\begin{itemize}
  \item un quart des clients participent aux randonnées,
  \item parmi les clients ayant choisi de faire une randonnée le matin, la moitié s'inscrit aussi aux activités nautiques de l'après-midi,
  \item parmi les clients n'ayant pas choisi de faire une randonnée le matin, un tiers s'inscrit aux activités nautiques de l'après-midi.
\end{itemize}

On choisit un client du club de vacances au hasard et on note :
\begin{itemize}
  \item $R$ l'évènement : \og le client participe à la randonnée \fg,
  \item $N$ l'évènement : \og le client participe aux activités nautiques \fg.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter l'arbre de probabilité représentant la situation.

  \medskip

  \def\ArbreExoUn{
    $R$/\numdots/,
    $N$/\numdots/,
    $\overline{N}$/\numdots/,
    $\overline{R}$/\numdots/,
    $N$/\numdots/,
    $\overline{N}$/\numdots/
  }

  \begin{Centrage}
  \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{\ArbreExoUn}
  \end{Centrage}

  \item Montrer que la probabilité que le client participe aux activités nautiques est $\dfrac{3}{8}$.
  \item Sachant que le client a participé aux activités nautiques de l'après-midi, quelle est la probabilité qu'il ait fait la randonnée du matin ?
  \item Les évènements $R$ et $N$ sont-ils indépendants ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En 2025, le club de vacances a accueilli $400$ clients. Son directeur projette la fréquentation du club dans les années à venir en modélisant le nombre de clients du club les années suivantes par la suite $\suiten$ définie par :
\[
  u_0 = 400 \text{ et pour tout entier naturel } n \text{, } u_{n+1} = 1{,}025\,u_n.
\]
où $u_n$ représente le nombre de clients du club pour l'année $2025 + n$.

\begin{enumerate}
  \item Donner la nature de la suite $\suiten$ en précisant sa raison.
  \item Selon ce modèle, quel est le taux d'évolution annuel de la fréquentation de ce club de vacances ?
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Recopier et compléter la fonction \texttt{seuil}, codée en \textsf{Python}, afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à $k$, où $k$ est un entier naturel non nul.

\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center}
def seuil(k) :
    u = 400
    n = 0
    while ...... :
        n = ...
        u = ...
    return ...
\end{CodePythonLstAlt}

    \item Le tableau ci-dessous a été extrait d'une feuille automatisée de calcul donnant les valeurs arrondies au centième de $1{,}025^n$ pour certaines valeurs de $n$.

    Déterminer la valeur renvoyée par l'instruction \texttt{seuil(600)}, où \texttt{seuil} est la fonction codée en \textsf{Python} donnée en 3.a). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

    \medskip

    \begin{wrapstuff}[r,rightsep=5mm]
       \begin{PostIt}[Rendu=tikzv2,Largeur=3.5cm,Attache=Non,Inclinaison=5]
        \textbf{\underline{Aide au calcul}} :

        \smallskip

        ~~$400\times1,5=600$
      \end{PostIt}%
    \end{wrapstuff}

    \hfill%
    \begin{tikzpicture}[scale=0.75,transform shape]
      \tableur*[23]{A/1.2cm,B/1.5cm}
      %\remplircases[align=center]{$n$ & $1{,}025^n$}
      \colonnetxt*[align=center]{A}{$n$,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21}
      \colonnetxt*[align=center]{B}{$1{,}025^n$,1.00,1.03,1.05,1.08,1.10,1.13,1.16,1.19,1.22,1.25,1.28,1.31,1.34,1.38,1.41,1.45,1.48,1.52,1.56,1.60,1.64,1.68}
    \end{tikzpicture}%
    \hfill\null
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\pagebreak

\begin{ExerciceEAM}{2}
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}x + 1\right)\e^{-x}$.

On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{wrapstuff}[r,rightsep=5mm]
  \begin{PostIt}[Rendu=tikzv2,Largeur=3.5cm,Attache=Non,Inclinaison=5]
    \textbf{\underline{Aide au calculs}} :

    \smallskip

    ~~$e^1 \approx 2{,}7$

    ~~$e^{-1} \approx 0{,}4$

    ~~$e^2 \approx 7{,}4$
  \end{PostIt}%
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
  \item Démontrer que, pour tout réel $x$, $f'(x) = \left(-\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}$.

  \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

  \item L'affirmation \og Pour tout réel $x$, $f(x) \leqslant 2$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

  \item Déterminer l'équation réduite de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction polynôme du second degré définie par $g(x) = 0{,}5x^2 + bx + c$ où $b$ et $c$ sont deux réels.

On crée la courbe représentée ci-dessous, constituée des deux éléments suivants :
\begin{itemize}
  \item une partie de la courbe $(C_f)$ représentative de la fonction $f$ définie dans la partie A sur l'intervalle $[-2\,;\,0]$,
  \item une partie de la courbe $(C_g)$ représentative de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0\,;\,3]$.
\end{itemize}

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1.15cm,y=1.15cm,Xmin=-2.5,Xmax=3.5,Xgrilles=1,Ymin=-0.25,Ymax=4.25,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-2,-1,...,3}{0,1,...,4}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=-2,Fin=0]{(0.5*x+1)*exp(-x)}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=red,Debut=0,Fin=3]{0.5*x^2+(-0.5)*x+1}
  \MarquerPts[Couleur=black,Style=x,Taillex=2.5pt]{(0,1)/$M$/above right}
  \PlacerTexte[Couleur=blue]{(-1.5,1.5)}{$C_f$}
  \PlacerTexte[Couleur=red]{(2.65,2.5)}{$C_g$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

Le but de cette partie est de déterminer les réels $b$ et $c$.

\begin{enumerate}
  \item Le point $M(0\,;\,1)$ appartient aux deux courbes $(C_f)$ et $(C_g)$.

  Démontrer que $c = 1$.

  \item Au point $M(0\,;\,1)$, les courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ admettent la même tangente.

  Déterminer la valeur de $b$.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\end{document}
