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\def\repartpts{6,14,X,X,X}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
	{Suites / Tableur},
	{Fonctions / Variations},
	{Données chiffrées / Probabilités}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}
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%transcription principale faite par mistral.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
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%divers
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\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\newcommand\qcmun[5][1]{%
	\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={X[m,l]}}
		\textbf{a)}~~#2 \\
		\textbf{b)}~~#3 \\
		\textbf{c)}~~#4 \\
		\textbf{d)}~~#5 \\
	\end{tblr}
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\newcommand\qcmdeux[5][1]{%
	\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
		\textbf{a)}~~#2 & \textbf{b)}~~#3 \\
		\textbf{c)}~~#4 & \textbf{d)}~~#5 \\
	\end{tblr}
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	\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
		\textbf{a)}~~#2 & \textbf{b)}~~#3 & \textbf{c)}~~#4 & \textbf{d)}~~#5 \\
	\end{tblr}
}
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
	\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
		\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
		%
		\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
		\foreach \i in {1,...,#1}{%
			\xdef\j{\inteval{\i+2}}%
			\hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
			\hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
		}%
	\end{tcolorbox}%
}
\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
	\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill]
	\textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
	
	\smallskip
}%
{%
	\endtcolorbox%
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\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
	\hypertarget{exon#1}{}%
	\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill]
	\textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
	
	\medskip
}%
{%
	\endtcolorbox%
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\hfill\twemoji[height=5cm]{bullseye}\hfill\null

\part*{Épreuve anticipée de mathématiques\\\og \serie{} \fg,\\\mois{} \annee, sujet \numsujet}

\vspace{1cm}

\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie Technologique.

\medskip

Durée : 2 heures. L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
\end{tcolorbox}

\vspace{1cm}

\sujetbaclabelexos{3}

\pagebreak

\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)} %exoautomaqcm

\smallskip

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

\medskip

\begin{AutomatQuestEAM}{1}
Jean consacre $25\,\%$ de sa journée de dimanche à faire ses devoirs.

$80\,\%$ du temps consacré aux devoirs est consacré à faire un exposé.

Le pourcentage du temps consacré à l'exposé par rapport à la journée de dimanche est égal à :

\smallskip

\qcm{$80\,\%-25\,\%$}{$\frac{1}{4} \times 80\,\%$}{$0,08 \times 25\,\%$}{Cela dépend de la durée de la journée de dimanche.}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{2}
Un prix diminue de $50\,\%$. Pour retrouver le prix initial, il faut une augmentation de :

\smallskip

\qcm{$50\,\%$}{$100\,\%$}{$150\,\%$}{$200\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{3}
Le prix d'une tablette a baissé : il est passé de 250 euros à 200 euros. Cela signifie que ce prix a été multiplié par :

\smallskip

\qcm{1,25}{0,75}{0,8}{$-0,8$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{4}
La seule égalité vraie est :

\smallskip

\qcm{$40 \times \frac{1}{40^{3}}=40^{2}$}{$\left(2^{-4}\right)^{3}=2^{-1}$}{$\frac{10^{-5}}{10^{8}}=10^{-13}$}{$5^{-6} \times 11^{-6}=55^{-12}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{5}
L'épaisseur d'une feuille de papier est égale à $70 \times 10^{-3} \mathrm{~mm}$. L'épaisseur d'une pile de 2000 feuilles est égale à :

\smallskip

\qcm{140~cm}{14~mm}{14~cm}{72~cm}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{6}
Voici quatre planètes et leur masse.

\begin{Centrage}
	\begin{tblr}{colspec={Q[l,m,2cm]c},hlines,vlines}
	Terre & $5973 \times 10^{21}~\mathrm{kg}$ \\
	Mercure & $33,02 \times 10^{22}~\mathrm{kg}$ \\
	Vénus & $48685 \times 10^{20}~\mathrm{kg}$ \\
	Mars & $6,4185 \times 10^{23}~\mathrm{kg}$ \\
	\end{tblr}
\end{Centrage}

La planète dont la masse est la plus importante est :

\smallskip

\qcm{Terre}{Mercure}{Vénus}{Mars}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{7}
On additionne un nombre réel $x$, avec son triple et son carré. Le résultat est égal à :

\smallskip

\qcm{$(x+3 x)^{2}$}{$x+(3 x)^{2}$}{$1+3 x^{2}$}{$4 x+x^{2}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{8}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-7.5mm]
	\begin{GraphiqueTikz}[x=0.375cm,y=0.375cm,Xmin=-3,Xmax=4,Xgrilles=1,Ymin=-3,Ymax=4,Ygrilles=1]
		\TracerAxesGrilles[Origine,Police=\tiny,Origine]{-2,1,3}{1}
		\TracerCourbe[Couleur=blue,Debut=-2,Fin=3]< f >{x}
		\TracerCourbe[Couleur=red,Debut=-2,Fin=1]< g >{4/3*x^(2)+x-4/3}
		\TracerCourbe[Couleur=red,Debut=1,Fin=3]< h >{-(x-2)^2+2}
		\MarquerPts*[Style=+]{(-2,-2),(-1,-1),(1,1),(3,3),(3,1),(-2,2)}
		\PlacerTexte[Couleur=blue,Police=\footnotesize,Position=above left]{(3,2.5)}{$\mathcal{C}^{\prime}$}
		\PlacerTexte[Couleur=red,Police=\footnotesize,Position=below right]{(-2,2)}{$\mathcal{C}$}
	\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

Dans la figure ci-contre, les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}^{\prime}$ représentent respectivement les fonctions $f$ et $g$.

L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant g(x)$ est :

\smallskip

\qcmdeux[0.8]{$[-2 ;-1]$}{$[1 ; 2]$}{$[-2 ;-1] \cup[1 ; 2]$}{$[-2 ;-1] \cap[1 ; 2]$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{9}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-7.5mm]
	\begin{GraphiqueTikz}[x=0.5cm,y=0.25cm,Xmin=-3.5,Xmax=2.5,Xgrilles=1,Ymin=-11,Ymax=9.5,Ygrille=2,Ygrilles=2]
		\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\tiny,Origine]{-3,-2,-1,1,2}{-10,-8,...,8}
		\TracerCourbe[Couleur=red,Debut=-3,Fin=2]< f >{  0.8472887783233x^(3) + 0.1356378942586x^(2) - 7.3970252720253x - 2.5692469808849  }
	\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

On donne ci-contre la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3 ; 2]$. On s'intéresse à l'équation $f(x)=0$. Une seule de ces propositions est exacte :

\smallskip

\qcmun[0.8]%
	{L'équation $f(x)=0$ n'admet aucune solution.}%
	{L'équation $f(x)=0$ admet exactement une solution.}%
	{L'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions, et ces solutions sont négatives.}%
	{L'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions, et ces solutions sont de signes contraires.}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{10}
On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ dont le tableau de signes est donné ci-dessous.

\begin{Centrage}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$2$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,}
	\end{tikzpicture}
\end{Centrage}

Parmi les quatre expressions proposées pour la fonction $f$, une seule est possible.

\smallskip

\qcm{$f(x)=-3 x+6$}{$f(x)=x+2$}{$f(x)=x-2$}{$f(x)=-4 x+2$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{11}
On considère la relation $C=(1+t)^{2}$. On cherche à isoler la variable $t$. On a :

\smallskip

\qcm{$t=\sqrt{C-1}$}{$t=\sqrt{C}-1$}{$t=\sqrt{1-C}$}{$t=1-\sqrt{C}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{12}
\newcommand\placebarretriple[4]{%
	\def\largbarre{0.325}
	\draw[thick,fill=lightgray] ({#1-\largbarre},0) rectangle++ ({2*\largbarre},#2) ;
	\draw[thick,pattern=north east lines] ({#1-\largbarre},#2) rectangle++ ({2*\largbarre},{#3-#2}) ;
	\draw[thick,pattern=north west lines] ({#1-\largbarre},#3) rectangle++ ({2*\largbarre},{#4-#3}) ;
}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-7.5mm]
	\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=0.007cm]
		\draw[lightgray,xstep=10,ystep=25] (0,0) grid (5.75,700) ;
		\draw[line width=0.9pt] (0,0) -- (5.75,0) ;
		\draw[line width=0.9pt] (0,0) -- (0,700) ;
		\draw (3,-100) node[font=\small] {Année} ;
		\draw (-1,350) node[font=\scriptsize,rotate=90] {Production d'électricité en France (en TWh)} ;
		\foreach \annee [count=\i] in {1995,2001,2006,2011,2016}{%
			\draw (\i,0) node[below,font=\small] {\annee} ;
		}
		\foreach \ordo in {0,100,...,700}{%
			\draw[line width=0.9pt] (0,\ordo)--++(-2.75pt,0) node[left,font=\small] {\ordo} ;
		}
		%barres
		\placebarretriple{1}{375}{425}{500}
		\placebarretriple{2}{425}{500}{575}
		\placebarretriple{3}{450}{520}{575}
		\placebarretriple{4}{440}{500}{530}
		\placebarretriple{5}{400}{460}{530}
		%légende
		\draw[line width=0.45pt,fill=white] (0.225,612.5) rectangle ({5.75},775) ;
		\draw[thick,fill=lightgray] ({1.25-\largbarre},625) rectangle++ ({2*\largbarre},75) ;
		\draw (1.25,700) node[above,font=\footnotesize] {\vphantom{yq}Nucléaire} ;
		\draw[thick,pattern=north east lines] ({3-\largbarre},625) rectangle++ ({2*\largbarre},75) ;
		\draw (3,700) node[above,font=\footnotesize] {Thermique} ;
		\draw[thick,pattern=north west lines] ({4.75-\largbarre},625) rectangle++ ({2*\largbarre},75) ;
		\draw (4.75,700) node[above,font=\footnotesize] {Hydraulique} ;
	\end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}

Le diagramme en barres ci-contre donne la production d'électricité, en Twh (térawatt-heure) selon son origine (source : INSEE).

L'année où la production d'électricité d'origine hydraulique était la plus importante est :

\smallskip

\qcmdeux[0.8]{1995}{2001}{2011}{2016}

\vspace*{1.95cm}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)} %exos

\begin{ExerciceEAM}{1}
Une biologiste désire étudier l'évolution de la population de singes sur une île. En 2025, elle estime qu'il y a \num{1000} singes sur l'île.

\medskip

\textbf{A. Premier modèle.}

\medskip

Chaque année, la population de singes baisse de $10\,\%$.

\begin{enumerate}
	\item Montrer qu'en 2026, il y aura 900 singes sur l'île.
	\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ le nombre de singes sur l'île pour l'année $2025+n$. On a donc $u_{0}=\num{1000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer ce que représente $u_{2}$ et calculer sa valeur.
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ et préciser sa raison.
		\item Donner les variations de cette suite.
	\end{enumerate}
	\item Selon ce modèle, la population de singes est-elle menacée d'extinction ? Justifier.
\end{enumerate}

\textbf{B. Second modèle}

\medskip

On admet que l'évolution du nombre de singes est modélisée par la suite $\left(v_{n}\right)$ ainsi définie : \[ \begin{cases} v_{n+1}=0,9 v_{n}+150~;~n \in \N \\ v_{0}=\num{1000} \end{cases} \]
%
où $v_{n}$ désigne le nombre de singes sur l'île pour l'année $2025+n$.

\begin{wrapstuff}[r]
	\begin{tikzpicture}[scale=0.825,transform shape]
		\tableur*[21]{A/2cm,B/2cm}
		\celtxt*[align=center,font=\bfseries]{A}{1}{n}
		\colonnetxt*[align=center]{A}<2>{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}
		\celtxt*[align=center,font=\bfseries]{B}{1}{Vn}
		\colonnetxt*[align=center]{B}<2>{1000,1050,109,1136,1172,1205,1234,1261,1285,1306,1326,1343,1359,1373,1386,1397,1407,1417,1425,1432}
	\end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
	\item Avec ce modèle, quelle sera la population de singes en 2026 ? Détailler le calcul.
	
	\item La feuille de calcul ci-contre donne les valeurs arrondies à l'unité des premiers termes de la suite $\left(v_{n}\right)$. Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, faut-il saisir dans la cellule \AffVignette[Type=sheet,Police=\footnotesize\sffamily]{B3} pour obtenir les termes de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
	
	\item Indiquer en quelle année, la population de singes dépassera pour la première fois 1400 individus.
\end{enumerate}

\vspace*{6cm}
\end{ExerciceEAM}

\pagebreak

\begin{ExerciceEAM}{2}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-7.5mm]
	\begin{GraphiqueTikz}[x=0.75cm,y=0.15cm,Xmin=-2.5,Xmax=6.5,Xgrilles=1,Ymin=-12.5,Ymax=17.5,Ygrille=5,Ygrilles=5]
		\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\small,Origine]{1}{5}
		\TracerCourbe[Couleur=blue]< t >{-6*x+12}
		\TracerCourbe[Couleur=red,Debut=-2,Fin=6]< f >{0.5*x^(3)-3*x^(2)+8}
		\PlacerTexte[Couleur=red,Position=below right,Police=\small]{(5,-5)}{$\mathcal{C}$}
		\PlacerTexte[Couleur=blue,Police=\small]{(-0.75,13.5)}{$T$}
	\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2 ; 6]$.

Sa courbe représentative, notée $\mathcal{C}$ est donnée ci-contre.

\begin{itemize}
	\item On sait que la courbe $\mathcal{C}$ passe par les points de coordonnées $(0 ; 8)$, $(2 ; 0)$ et $(4 ;-8)$.
	\item On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x=2$.
	\item On sait que la tangente $T$ coupe l'axe des ordonnées en $y=12$.
\end{itemize}

On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$.

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs de $f(2)$ et $f^{\prime}(2)$.
		\item Donner une équation de la tangente $T$.
		\item Recopier et compléter le tableau de variation ci-dessous en utilisant le graphique.
	\end{enumerate}
	
	\begin{Centrage}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/0.8,$f$/1.6}{$-2$,$0$,$4$,$6$}
		\end{tikzpicture}
	\end{Centrage}
	
	\item On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-2 ; 6]$ par $f(x)=0,5 x^{3}-3 x^{2}+8$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2 ; 6]$, on a $f^{\prime}(x)=1,5 x(x-4)$.
		\item Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ et retrouver le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2 ; 6]$.
	\end{enumerate}
	\item On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 2]$ on a $f(x) \leq-6 x+12$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $T$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$ ?
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\bigskip

\begin{ExerciceEAM}{3}
Indiquer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

Les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} sont indépendantes.

\begin{enumerate}
	\item Afin de lutter contre le dopage dans le sport, un test a été mis en place.
	
	En principe, ce test est POSITIF lorsque le sportif est dopé, et NEGATIF lorsqu'il n'est pas dopé. Toutefois, ce test peut commettre des erreurs : il peut être positif lorsque le sportif n'est pas dopé, et négatif lorsque le sportif est dopé.
	
	Le tableau ci-dessous donne les résultats recueillis auprès de 200 coureurs ayant participé à un marathon.
\end{enumerate}

\begin{Centrage}
	\begin{tblr}{colspec={*{4}{Q[3cm,m,c]}},vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid}}
		& Coureur non dopé & Coureur dopé & Total \\
		Test positif & 15 & 5 & 20 \\
		Test négatif & 178 & 2 & 180 \\
		Total & 193 & 7 & 200 \\
	\end{tblr}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}[resume]
	\item[]
	\begin{enumerate}
		\item On choisit un coureur au hasard parmi les 200 coureurs testés.
		
		\textbf{Affirmation 1 :} La probabilité que le coureur ne soit pas dopé ou soit testé positif est égale à $\frac{213}{200}$.
		
		\item On choisit un coureur au hasard parmi ceux ayant eu un test positif.
		
		\textbf{Affirmation 2 :} Il y a $75\,\%$ de chances que le coureur ne soit pas dopé.
		
		\item On choisit un coureur au hasard parmi les 200 coureurs testés.
		
		\textbf{Affirmation 3 :} La probabilité que le coureur soit concerné par une erreur de test est égale à $8,5\,\%$.
	\end{enumerate}
	\item Au tennis, un SERVICE peut être réussi ou manqué. Une joueuse de tennis s'entraîne à faire des services. On admet que :
	\begin{itemize}
		\item la probabilité que son service soit réussi est égale à 0,9.
		\item les services sont indépendants les uns des autres.
	\end{itemize}
	
	La joueuse fait deux services.
	
	\textbf{Affirmation 4 :} La probabilité qu'exactement un service soit réussi sur les deux est égale à 0,09.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\end{document}