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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\session}{2026}
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\newcommand{\serie}{Technologique}
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\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATHTEME1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3}
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\def\repartpts{6,14,5,5,4}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
  {Fonctions / Dérivées},
  {Suites / Tableur},
  {Probabilités}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

\title{\nomfichier}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
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\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}

\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
  \ExamReponsesQCM%
    [Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={A.},Largeur=#2,Swap]%
    {{#3},{#4},{#5},{#6}}%
    <rowsep=4pt,colsep=8pt>
}

\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
  \begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
    \textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
    \foreach \i in {1,...,#1}{%
      \xdef\j{\inteval{\i+2}}%
      \hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
      \hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
    }%
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.25cm}
  \settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
  \begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
    La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
  \end{tcolorbox}%
  \vspace*{0.75cm}
  \hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}

  \smallskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
  \hypertarget{exon#1}{}%
  \tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
  \textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}

  \medskip
}%
{%
  \endtcolorbox%
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{fr.v2}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}

\vspace{0.25cm}

\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Toutes séries technologiques.

\medskip

Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}

\vspace{0.25cm}

\sujetbaclabelexos{3}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================

\smallskip

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

\medskip

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\medskip

\begin{AutomatQuestEAM}{1}
Un lycée compte $500$ élèves. $20\,\%$ des élèves sont externes. Le nombre d'externes est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$10$}{$20$}{$100$}{$520$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{2}
Un lycée compte $500$ élèves. L'effectif augmente de $5\,\%$ l'année suivante. Le nombre d'élèves est donc multiplié par :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$5$}{$1{,}05$}{$0{,}05$}{$25$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{3}
$4 \times \dfrac{2}{3} = $

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{8}{3}$}{$\dfrac{8}{12}$}{$\dfrac{24}{3}$}{$\dfrac{24}{9}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Quelle équation admet deux solutions réelles ?

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$2x = -1$}{$x^2 = -1$}{$x^2 = 4$}{$\dfrac{x}{2} = 4$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{5}
\begin{Centrage}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=0.85cm,y=0.85cm,Xmin=-1.5,Xmax=3.5,Xgrilles=1,Ymin=-1.5,Ymax=4.25,Ygrilles=1]
    \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-1,0,...,3}{-1,0,...,3}
    \TracerCourbe[Couleur=CouleurVertForet]{-2*x+3}
  \end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

L'équation de la droite représentée ci-dessus est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$y = -0{,}5x + 1{,}5$}{$y = -2x + 1{,}5$}{$y = 2x + 3$}{$y = -2x + 3$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{6}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x(3x-6)$.

L'image de $-2$ par cette fonction est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$-14$}{$-24$}{$24$}{$-48$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{7}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x(3x-6)$.

Le nombre $0$ admet :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]%
  {Deux antécédents : $0$ et $2$}%
  {Un seul antécédent : $0$}%
  {Un seul antécédent : $-18$}%
  {Deux antécédents : $0$ et $-2$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{8}
On considère la représentation graphique d'une fonction $f$ polynôme du second degré, définie sur $\mathbb{R}$.

\hfill%
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.5cm,y=0.6cm,Xmin=-1.5,Xmax=9.5,Xgrilles=1,Ymin=-1.5,Ymax=5.75,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\scriptsize]{-1,0,...,9}{-1,0,...,5}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=red]{0.25*(x-2)*(x-6)}
\end{GraphiqueTikz}%
\hfill\null

Le tableau de signes de cette fonction $f$ est :

\smallskip

\eamreponsesautom[2]%
  {\\[4pt]%
  \begin{tikzpicture}
    \tkzTabInit[espcl=1.125]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$3$,$2$,$6$,$+\infty$}
    \tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+,}
  \end{tikzpicture}
  }%
  {\\[4pt]%
    \begin{tikzpicture}
      \tkzTabInit[espcl=2.25]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$4$,$+\infty$}
      \tkzTabLine{,-,z,+,}
    \end{tikzpicture}
  }%
  {\\[4pt]%
    \begin{tikzpicture}
      \tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$2$,$6$,$+\infty$}
      \tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
    \end{tikzpicture}
  }%
  {\\[4pt]%
    \begin{tikzpicture}
      \tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$2$,$6$,$+\infty$}
      \tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
    \end{tikzpicture}
  }
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{9}
Une course automobile consiste à parcourir $20$ tours d'une piste de $4\,500$ mètres. La distance totale de la course est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$9\,000$~m}{$9$~km}{$90$~km}{$45$~km}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{10}
Un élève a obtenu la note de $10/20$ à un devoir coefficienté $2$ et la note de $16/20$ à un devoir coefficienté $1$. La moyenne de l'élève est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$11$}{$12$}{$13$}{$14$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{11}
Le tableau ci-dessous donne la répartition des achats d'aspirateurs d'un magasin d'électroménager.

\medskip

\hfill%
\begin{tblr}{vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},width=0.6\linewidth,colspec={X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
  & Avec sac & Sans sac & Total \\
  Avec fil & $102$ & $58$ & $160$ \\
  Sans fil & $20$ & $70$ & $90$ \\
  Total & $122$ & $128$ & $250$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null

\medskip

On interroge au hasard un client parmi ceux qui ont acheté un aspirateur sans fil. La probabilité que ce client ait acheté un aspirateur avec sac est :

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{20}{70}$}{$\dfrac{20}{90}$}{$\dfrac{20}{250}$}{$\dfrac{20}{122}$}
\end{AutomatQuestEAM}

\begin{AutomatQuestEAM}{12}
Le diagramme ci-dessous donne la répartition des ventes d'un concessionnaire automobile.

\medskip

\begin{Centrage}
\begin{tikzpicture}[thick,line join=bevel]
  \draw[fill=lightgray!30] (0,2)--(0,-2) arc(-90:90:2) ;
  \node[font=\footnotesize,right] at (2,0) {Berlines} ;
  \draw[fill=gray!80] (0,0)--(-2,0) arc(180:270:2) -- cycle ;
  \node[font=\footnotesize,below left] at (-135:2) {Monospaces} ;
  \draw[fill=gray!60] (0,0)--(-2,0) arc(180:115.2:2) -- cycle ;
  \node[font=\footnotesize,above left] at (154.8:2) {Cabriolets} ;
  \draw[fill=gray!30] (0,0)--(115.2:2) arc(115.2:90:2) -- cycle ;
  \node[font=\footnotesize,above left] at (102.6:2) {Tout terrain} ;
\end{tikzpicture}
\end{Centrage}

Quel pourcentage des ventes représentent les véhicules cabriolets ?

\smallskip

\eamreponsesautom[4]{$52\,\%$}{$12\,\%$}{$18\,\%$}{$30\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}

\pagebreak

%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================

\begin{ExerciceEAM}{1}
On considère la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3;4]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

On précise que :
\begin{itemize}
  \item la droite $(d)$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ et passe par le point $C$ ;
  \item la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1.25cm,y=0.625cm,Xmin=-3.2,Xmax=4.4,Xgrille=1,Xgrilles=0.2,Ymin=-12.4,Ymax=5.2,Ygrille=1,Ygrilles=0.2]<Theme=gris>
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-3,-2,...,4}{-12,-11,...,5}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=-3,Fin=4]{-x^2+2*x+3}
  \TracerCourbe[Couleur=red]{6x+7}
  \TracerCourbe[Couleur=violet]{4}
  \MarquerPts[Couleur=black,Style=+]{(-2,-5)/$A$/above left,(1,4)/$B$/above,(-1,1)/$C$/above left}
  \PlacerTexte[Couleur=red]{(-0.9,3.2)}{$(d)$}
  \PlacerTexte[Couleur=blue]{(2.2,3.2)}{$\mathcal{C}_f$}
  \PlacerTexte[Couleur=violet]{(2.4,4.4)}{$\mathcal{T}$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

Par lecture graphique :

\begin{enumerate}
  \item Déterminer $f(-2)$ et $f(1)$.
  \item Déterminer $f'(-2)$ et $f'(1)$.
  \item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
  \item Dresser le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}

\textbf{On admet que} $\bm{f(x) = -x^2 + 2x + 3}$ \textbf{sur l'intervalle} $\bm{{[-3;4]}}$\textbf{.}

\begin{enumerate}[resume]
  \item Retrouver par le calcul les résultats de la question \textbf{1}.
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer $f'(x)$ puis retrouver les résultats de la question \textbf{2}.
    \item Vérifier par le calcul que $f(x) = (x+1)(-x+3)$. Retrouver les résultats de la question \textbf{3}.
    \item Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-3;4]$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur cet intervalle.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\bigskip

\begin{ExerciceEAM}{2}
Une salle de sport propose deux offres d'abonnement :

\begin{itemize}
  \item Abonnement n°1 : $250$~€ en 2026 puis une augmentation de $30$~€ par an.
  \item Abonnement n°2 : $200$~€ en 2026 puis une augmentation de $10\,\%$ par an.
\end{itemize}

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A : Abonnement n°1.}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le montant de l'abonnement n°1 pour l'année $2026 + n$.

On a ainsi $a_0 = 250$.

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Calculer le montant de l'abonnement pour 2027.
    \item Calculer $a_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}
  \item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$.
  \item En déduire la nature de la suite $\suiten[a]$ et préciser sa raison.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Abonnement n°2.}

\medskip

\begin{wrapstuff}[r]
\begin{tikzpicture}
  %\tabnumlinewidth{1.57em}
  \tableur*[16]{A/1.15cm,B/1.65cm,C/1.65cm,D/1.65cm}%
  %entête
  \remplircases[align=center]{%
    $n$ & $a_n$ & $b_n$ & $c_n$
  }
  %valeurs
  \colonnetxt*[align=right,width=1.15cm]{A}<2>{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}
  \colonnetxt*[align=right,width=1.65cm]{B}<2>{250\,€,280\,€,310\,€,340\,€,370\,€,400\,€,430\,€,460\,€,490\,€,520\,€,550\,€,580\,€,610\,€,640\,€,670\,€}
  \colonnetxt*[align=right,width=1.65cm]{C}<2>{200\,€,220\,€,242.00\,€,266.20\,€,292.82\,€,322.10\,€,354.31\,€,389.74\,€,428.72\,€,471.59\,€,518.75\,€,570.62\,€,627.69\,€,690.45\,€,759.50\,€}
  \colonnetxt*[align=right,width=1.65cm]{D}<2>{50\,€,60\,€,68\,€,73.80\,€,77.18\,€,77.90\,€,75.69\,€,70.26\,€,61.28\,€,48.41\,€,31.25\,€,9.38\,€,-17.69\,€,-50.45\,€,-89.50\,€}
  \selecCell{D}{2}
\end{tikzpicture}%
\end{wrapstuff}

Pour tout entier naturel $n$, on note $b_n$ le montant de l'abonnement n°2 pour l'année $2026 + n$.

On a ainsi $b_0 = 200$.

\begin{enumerate}
  \item Justifier que le montant de l'abonnement en 2027 s'élève à $220$~€.
  \item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$.
  \item En déduire la nature de la suite $\suiten[b]$ et préciser sa raison.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Comparaison des offres.}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ on note $c_n = a_n - b_n$.

Les premiers termes des suites $\suiten[a]$, $\suiten[b]$ et $\suiten[c]$ sont donnés sur la feuille de calcul ci-contre.

\begin{enumerate}
  \item Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, doit-on écrire dans la cellule \textsf{D2} ?
  \item À partir de quelle année le montant de l'abonnement n°2 devient-il plus élevé que le montant de l'abonnement n°1 ?
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\pagebreak

\begin{ExerciceEAM}{3}
Cet exercice contient quatre affirmations.

Pour chaque affirmation, répondre par \textbf{VRAI} ou \textbf{FAUX}, en justifiant la réponse. Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation.

\medskip

Une enquête est réalisée sur l'équipement informatique des $400$ élèves d'un collège.

\medskip

\hfill%
\begin{tblr}{vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},width=0.825\linewidth,colspec={X[m,l,1.5]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
  & Ont une adresse mail & N'ont pas d'adresse mail & Total \\
  Ont un équipement individuel & $50$ & $210$ & $260$ \\
  N'ont pas d'équipement individuel & $40$ & $100$ & $140$ \\
  Total & $90$ & $310$ & $400$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null

\medskip

\begin{enumerate}
  \item \textbf{Affirmation :} $50\,\%$ des élèves du collège possèdent une adresse mail et un équipement individuel.

  \item \textbf{Affirmation :} Au moins $50\,\%$ des élèves du collège ne possèdent pas d'adresse mail.

  \item \textbf{Affirmation :} On choisit un élève au hasard dans le collège. La probabilité qu'il ne possède ni adresse mail ni équipement individuel est égale à $25\,\%$.

  \item \textbf{Affirmation :} Au moins $\dfrac{1}{5}$ des élèves ayant un équipement individuel possèdent également une adresse mail.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}

\end{document}
