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% bac2021gen-asie-juin-sujet2-exo3.tex Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée \og Tickets cœurs ! \fg. Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille $3 \times 3$ sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous. \begin{center} \begin{tikzpicture}[xmin=0,xmax=3,ymin=0,ymax=3] \GrilleTikz[Affs=false][very thick][] % \tgrillep[line width=1pt] \foreach \Pos in {(1.5,2.5),(0.5,1.5),(2.5,0.5)} \draw \Pos node[font=\LARGE] {$\heartsuit$} ; \end{tikzpicture} \end{center} Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une même colonne ou sur une même diagonale. \begin{enumerate} \item Justifier qu'il y a exactement $84$ façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille. \item Montrer que la probabilité qu'un ticket soit gagnant est égale à $\dfrac{2}{21}$. \item Lorsqu'un joueur génère un ticket, la société prélève 1\,€ sur son compte en banque. Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur $5$\,€. Le jeu est-il favorable au joueur? \item Un joueur décide de générer $20$ tickets sur cette application. On suppose que les générations des tickets sont indépendantes entre elles. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les $20$ tickets générés. \item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l'évènement ($X$ = 5). \item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l'évènement $(X \geqslant 1)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate}
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