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% bac2021gen-fr-juin-sujet2-exo3.tex On considère la suite $\suiten$ définie par : $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1}=\dfrac{4u_n}{u_n+4}. \] \begin{enumerate} \item La copie d’écran ci-dessous présente les valeurs, calculées à l’aide d’un tableur, des termes de la suite $\suiten$ pour $n$ variant de 0 à 12, ainsi que celles du quotient $\dfrac{4}{u_n}$ (avec, pour les valeurs de $u_n$, affichage de deux chiffres pour les parties décimales). \begin{center} %TABLEUR \begin{tikzpicture} \tableur*[14]{A/2cm,B/2cm,C/2cm} \celtxt*[align=center]{A}{1}{$n$} \celtxt*[align=center]{B}{1}{$u_n$} \celtxt*[align=center]{C}{1}{$\nicefrac{4}{u_n}$} \foreach \A in {2,3,...,14}{% \xdef\nba{\inteval{\A-2}}% \celtxt*[align=center]{A}{\A}{$\nba$} } \foreach \C in {2,3,...,14}{% \xdef\nbc{\inteval{\C+2}}% \celtxt*[align=center]{C}{\C}{$\nbc$} } \foreach \B/\val in {2/{1,00},3/{0,80},4/{0,67},5/{0,57},6/{0,50},7/{0,44},8/{0,40},9/{0,36},10/{0,33},11/{0,29},12/{0,27},13/{0,27},14/{0,25}}{% \celtxt*[align=center]{B}{\B}{$\val$}} \end{tikzpicture} \end{center} \smallskip À l’aide de ces valeurs, conjecturer l’expression de $\dfrac{4}{u_n}$ en fonction de $n$. \smallskip Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question 5.), et d’en déduire la limite de la suite $\suiten$ (question 6.). \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > 0$. \item Démontrer que la suite $\suiten$ est décroissante. \item Que peut-on conclure des questions 2. et 3. concernant la suite $\suiten$ ? \item On considère la suite $\suiten[v]$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = \dfrac{4}{u_n}$. Démontrer que $\suiten[v]$ est une suite arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$. \item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\suiten$. \end{enumerate}
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