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% bac2021gen-fr-septembre-sujet1-exo2.tex Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$ par : \[ f(x) = \dfrac{4x}{1 + 3x}\] % On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ . \item On admet que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$. \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $\dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$. \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \item On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $\ell$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter la fonction \textsf{Python} ci-dessous qui, pour tout réel positif $E$, détermine la plus petite valeur $P$ tel que : $1 - u_{P} < E$. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center} def seuil(E) : u = 0.5 n = 0 while ............. u = ........... n = n+1 return n \end{CodePythonLstAlt} \item Donner la valeur renvoyée par ce programme dans le cas où $E = 10^{-4}$. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : \[v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}\] \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 4. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = \dfrac{v_n}{v_n + 1}$. \item Montrer alors que, pour tout entier naturel $n$ , on a : \[u_n = \dfrac{1}{1 + 0,25^n}.\] Retrouver par le calcul la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate}
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