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📄 bac2021gen-fr-septembre-sujet1-exo4.tex

% bac2021gen-fr-septembre-sujet1-exo4.tex On considère le cube $ABCDEFGH$ donné ci-dessous. \begin{center} \begin{tikzpicture}[line join=bevel] \draw[line width=1.25pt] (0.5,0.5)rectangle (6,6) ; %BCGF \draw[line width=1.25pt] (6,0.5)--(8.7,3.2)--(8.7,8.7)--(6,6) ;%CDHG \draw[line width=1.25pt] (8.7,8.7)--(3.2,8.7)--(0.5,6) ;%HEF \draw[line width=1pt,dashed] (0.5,0.5)--(3.2,3.2)--(8.7,3.2) ;%BAD \draw[line width=1pt,dashed] (3.2,3.2)--(3.2,8.7) ;%AE \foreach \Coord/\Sommet/\Pos in {(3.2,3.2)/A/below,(0.5,0.5)/B/below,(6,0.5)/C/below,(8.7,3.2)/D/below,(3.2,8.7)/E/above,(0.5,6)/F/above left,(6,6)/G/above,(8.7,8.7)/H/above right,(2.525,8.025)/I/above,(4.575,8.7)/J/above left,(0.5,1.875)/K/left} \filldraw \Coord circle[radius=2pt] node[\Pos] {\Sommet} ; \end{tikzpicture} \end{center} On donne trois points $I$, $J$ et $K$ vérifiant : \[\vect{\text{RI}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{EH}},\qquad \vect{\text{EJ}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{EF}}, \qquad \vect{\text{BK}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{BF}}.\] % Les points $I$, $J$ et $K$ sont représentés sur la figure donnée en annexe, à compléter et à rendre avec la copie. On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A};\vect{\text{AB}},\vect{\text{AD}},\vect{\text{AE}}\right)$. \begin{enumerate} \item Donner sans justification les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$. \item Démontrer que le vecteur $\vect{\text{AG}}$ est normal au plan $(IJK)$. \item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est $4x + 4y + 4z - 5 = 0$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(BC)$. \item En déduire les coordonnées du point $L$, point d'intersection de la droite $(BC)$ avec le plan $(IJK)$. \item Sur la figure en annexe, placer le point $L$ et construire l'intersection du plan $(IJK)$ avec la face $(BCGF)$. \item Soit M$\left(\frac{1}{4};1;0\right)$. Montrer que les points $I$, $J$, $L$ et $M$ sont coplanaires. \end{enumerate}
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