% bac2021gen-poly-juin-sujet2-exo4.tex Cet exercice est composé de trois parties indépendantes. \medskip On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ : \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=1.25cm,y=1.25cm,xmin=-3,xmax=4,ymin=-1,ymax=4] \GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0,Labelx=$x$,PosLabelx=below,PosLabely=left,Labely=$y$] \AxexTikz{-3,-2,-1,1,2,3} \AxeyTikz{-1,1,2,3} \draw (-4pt,-4pt) node[below left] {$0$} ; \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; \draw[red,line width=1.5pt,domain=-2.25:3.5,samples=250] plot (\x,{(\x+2)*exp(-\x)}) ; \draw[blue,dotted,line width=1.5pt,domain=-1.5:2.5,samples=2] plot (\x,{-\x+2}) ; \filldraw (0,2) circle[radius=2pt] node[above right] {$A$} (2,0) circle[radius=2pt] node[above right] {$B$} ; \draw[red] (-2,2) node[above right,font=\Large] {$\mathcal{C}$} ; \end{tikzpicture} \end{center} On considère les points $A(0;2)$ et $B(2;0)$. \medskip \textbf{Partie 1} \medskip Sachant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par $A$ et que la droite $(AB)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$, donner par lecture graphique : \begin{enumerate} \item La valeur de $f(0)$ et celle de $f'(0)$. \item Un intervalle sur lequel la fonction $f$ semble convexe. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 2} \medskip On note $(E)$ l'équation différentielle \[y' = -y + \e^{-x}.\] % On admet que $g$ : $ x \mapsto x\e^{-x}$ est une solution particulière de $(E)$. \begin{enumerate} \item Donner toutes les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $(H)$ : $y' = -y$. \item En déduire toutes les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $(E)$. \item Sachant que la fonction $f$ est la solution particulière de $(E)$ qui vérifie $f(0) = 2$, déterminer une expression de $f(x)$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 3} \medskip On admet que pour tout nombre réel $x$, $f(x) = (x + 2)\e^{-x}$. \begin{enumerate} \item On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x \in \R$, $f'(x) = (-x - 1) \e^{-x}$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x \in \R$ et dresser le tableau des variations de $f$ sur $\R$. On ne précisera ni la limite de $f$ en $- \infty$ ni la limite de $f$ en $+ \infty$. On calculera la valeur exacte de l'extremum de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item On rappelle que $f''$ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Calculer pour tout $x \in \R$, $f''(x)$. \item Peut-on affirmer que $f$ est convexe sur l'intervalle $[0;+\infty[$? \end{enumerate} \end{enumerate}