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% bac2022gen-amnord-mai-sujet1-exo4.tex Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 1} : Pour tout réel $x$ : $1 - \dfrac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x} = \dfrac{2}{1 + \text{e}^{-x}}$. \item On considère la fonction$g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$. \textbf{Affirmation 2 : } L'équation $g(x) = \dfrac12$ admet une unique solution dans $\R$. \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2\text{e}^{-x}$ et on note $\mathcal{C}$ sa courbe dans un repère orthonormé. \textbf{Affirmation 3 : } L'axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathcal{C}$ en un seul point. \item On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = \text{e}^x\left(1 - x^2\right)$. \textbf{Affirmation 4 :} Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $h$ n'admet pas de point d'inflexion. \item \textbf{Affirmation 5 :} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + x} = 0$. \item \textbf{Affirmation 6 :} Pour tout réel $x$, $1 + \text{e}^{2x} \geqslant 2\text{e}^x$. \end{enumerate}
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