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% bac2022gen-asie-mai-sujet2-exo1.tex Dans un repère orthonormé $\Rijk$ de l'espace, on considère les points \[A(-3;1;3)\text{, } B(2;2;3)\text{, } C(1;7;-1)\text{, } D(-4;6;-1) \text{ et } K(-3;14;14).\] % \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$, $\vect{OC}$ et $\vect{AD}$. \item Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle. \item Calculer l'aire du rectangle $ABCD$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que les points $A$, $B$ et $D$ définissent un plan. \item Montrer que le vecteur $\vect{n}(-2;10;13)$ est un vecteur normal au plan $(ABD)$. \item En déduire une équation cartésienne du plan $(ABD)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(ABD)$ et qui passe par le point $K$. \item Déterminer les coordonnées du point $I$, projeté orthogonal du point $K$ sur le plan $(ABD)$. \item Montrer que la hauteur de la pyramide $KABCD$ de base $ABCD$ et de sommet $K$ vaut $\sqrt{273}$. \end{enumerate} \item Calculer le volume $V$ de la pyramide $KABCD$. On rappelle que le volume V d'une pyramide est donné par la formule: \[V= \dfrac13 \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}.\] \end{enumerate}
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