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% bac2022gen-ce-mai-sujet2-exo2.tex Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par \[f(x) = x\ln (x) + 1.\] % On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ ainsi que sa limite en $+\infty$. \item \begin{enumerate} \item On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on notera $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif : \[f'(x) = 1 + \ln (x).\] \item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$. On y fera figurer la valeur exacte de l'extremum de $f$ sur $]0;+\infty[$ et les limites. \item Justifier que pour tout $x \in ]0;1[$, $f(x) \in ]0;1[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1. \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0;,+\infty[$. \item En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif : \[f(x) \geqslant x.\] \end{enumerate} \item On définit la suite $\left(u_n\right)$ par son premier terme $u_0$ élément de l'intervalle $]0;1[$ et pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = f\left(u_n\right).\] \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_n < 1$. \item Déduire de la question 3.(c) la croissance de la suite $\left(u_n\right)$. \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \end{enumerate} \end{enumerate}
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