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📄 bac2022gen-nouvcal-octobre-sujet2-exo2.tex

% bac2022gen-nouvcal-octobre-sujet2-exo2.tex Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[f(x) = x \ln (x) - x - 2.\] % On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $f'$ sa dérivée, $f''$ sa dérivée seconde et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$, on a $f'(x) = \ln(x)$. \item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x = \e$. \item Justifier que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \item En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la tangente $T$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$. \item Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à $+\infty$. \end{enumerate} \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $\alpha$ cette solution. \item Justifier que le réel $\alpha$ appartient à l'intervalle $\intervOO{4,3}{4,4}$. \item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \end{enumerate} \item On considère la fonction \texttt{seuil} suivante écrite dans le langage \textsf{Python} : On rappelle que la fonction \texttt{log} du module \texttt{math} (que l'on suppose importé) désigne la fonction logarithme népérien $\ln$. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center} def seuil(pas) : x = 4.3 while x*log(x) - x - 2 < 0 : x = x + pas return x \end{CodePythonLstAlt} Quelle est la valeur renvoyée à l'appel de la fonction \texttt{seuil(0.01)} ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate}
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