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% bac2022gen-poly-mai-sujet1-exo2.tex Selon les autorités sanitaires d'un pays, 7\,\% des habitants sont affectés par une certaine maladie. Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes : % \begin{itemize} \item pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans $20 \,\%$ des cas ; \item pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans $1\,\%$ des cas. \end{itemize} % Une personne est choisie au hasard dans la population et testée. On considère les évènements suivants : % \begin{itemize} \item $M$ \og la personne est malade \fg{} ; \item $T$ \og le test est positif \fg{}. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $M \cap T$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré. \item Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, et de \num{0,0653}. \item Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître $P_M(T)$ ou $P_T(M)$ ? \item On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près. \item On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'individus ayant un test positif parmi les 10 personnes. \begin{enumerate} \item Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$. \item Déterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elle ait un test positif, soit supérieur à $99\,\%$. \end{enumerate}
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