%%bac2023gen-amsud-septembre-sujet1-exo1.tex \textbf{Partie A} On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\intervOO{0}{+\infty}$ par \[ f(x)=1+x^2+2x^2\,\ln(x). \] On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle et on note $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Justifier que $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=1$ et, en remarquant que $f(x) = 1 + x^2 \big(1-2\ln(x)\big)$, justifier que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$. \item Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, $f'(x) = -4x \,\ln(x)$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, puis dresser le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \item Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $\intervFO{1}{+\infty}$ et que $\alpha \in \intervFF{1}{\e}$. \end{enumerate} % On admet dans la suite de l’exercice, que l’équation $f (x) = 0$ n’admet pas de solution sur l’intervalle $\intervOF{0}{1}$. % \begin{enumerate}[resume] \item On donne la fonction ci-dessous écrit en \textsf{Python}. L’instruction \texttt{from lycee import *} permet d’accéder à la fonction ln. % \begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{center} from lycee import * def f(x) : return 1+x**2-2*x**2*ln(x) def dichotomie(p) : a = 1 b = 2.7 while b-a > 10**(-p) : if f(a) * f((a+b)/2) < 0 : b = (a+b)/2 else : a = (a+b)/2 return (a, b) \end{CodePythonLstAlt} % Il écrit dans la console d’exécution : \texttt{>{}>{}>{} dichotomie(1)} \smallskip Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l’instruction précédente? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination) \hspace*{4cm}Proposition A : \texttt{(1.75, 1.9031250000000002)}\\ \hspace*{4cm}Proposition B : \texttt{(1.85, 1.9031250000000002)}\\ \hspace*{4cm}Proposition C : \texttt{(2.75, 2.9031250000000002)}\\ \hspace*{4cm}Proposition D : \texttt{(2.85, 2.9031250000000002)} \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $g$, définie sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, par \[ g(x)=\frac{\ln(x)}{1+x^2}. \] On admet que g est dérivable sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ et on note $g'$ sa fonction dérivée. On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $\Rij$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, $g'(x) = \dfrac{f(x)}{x\big(1+x^2\big)^2}$. \item Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x = \alpha$. On admet que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha^2}$. \item On note $T_1$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse 1 et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $\alpha$. Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d’intersection des droites $T_1$ et $T_{\alpha}$ \end{enumerate}