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%bac2023gen-amsud-septembre-sujet2-exo3.tex Soit la suite $\suiten$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \N$, \[ u_{n+1}=5u_n-8n+6. \] % \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$. \item Soit $n$ un entier naturel. Recopier et compléter la fonction \texttt{suite\_u} d’argument \texttt{n} ci-dessous, écrite en langage \textsf{Python}, afin qu’elle retourne la valeur de $u_n$. % \begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=10cm]{center} def suite_u(n) : u = ... for i in range(1, n+1) : u = ... return u \end{CodePythonLstAlt} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$, $u_n \geqslant 2n$. \item En déduire la limite de la suite $\suiten$. \item Soit $p \in N^*$. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ vérifiant $n \geqslant n_0$, $u_n \geqslant 10^p$ ? \end{enumerate} \item Démontrer que la suite $\suiten$ est croissante. \item On considère la suite $\suiten[v]$, définie pour tout $n \in \N$, par $v_n = u_n -n +1$. \begin{enumerate} \item En dessous de la fonction \texttt{suite\_u} précédente, on a écrit la fonction \texttt{suite\_v} ci-dessous : \begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=10cm]{center} def suite_v(n): L = [] for i in range(n+1) : L.append(suite_u(i)-2*i+1) return L \end{CodePythonLstAlt} % \emph{La commande « \texttt{L.append} » permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste \texttt{L}.} \smallskip Lorsqu'on saisit \texttt{suite\_v(5)} dans la console, on obtient l’affichage suivant : \hspace*{4cm}\texttt{>{}>{}>{} suite\_v(5)}\\ \hspace*{4cm}\texttt{[1, 5, 25, 125, 625, 3125]} Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. Démontrer cette conjecture. \item En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \end{enumerate}
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