% bac2023gen-fr-septembre-sujet1-exo3.tex \textit{Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.} \textit{Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.} \smallskip Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif. Dans une population, ce test donne les résultats suivants : \begin{itemize} \item si un individu est allergique, le test est positif dans 97\,\% des cas ; \item Si un individu n’est pas allergique, le test est négatif dans $95,7$\,\% des cas. \end{itemize} Par ailleurs, 20\,\% des individus de la population concernée présentent un test positif. \smallskip On choisit au hasard un individu dans la population, et on note : \begin{itemize} \item $A$ l’évènement « l’individu est allergique » ; \item $T$ l’évènement « l’individu présente un test positif ». \end{itemize} On notera $\overline{A}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires de $A$ et $T$. On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l’évènement $A$ : $x = p(A)$. \medskip \textbf{Partie A} \begin{wrapstuff}[r] \ArbreProbasTikz[EspaceNiveau=2]{$A$/$x$/above,$T$/$\ldots$/above,$\overline{T}$/$\ldots$/below, $\overline{A}$/$\ldots$/below,$T$/$\ldots$/above,$\overline{T}$/$\ldots$/below} \end{wrapstuff} \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter l’arbre ci-contre décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante. \item \begin{enumerate} \item Démontrer l’égalité : $p(T) = 0,927x +0,043$. \item En déduire la probabilité que l’individu choisi soit allergique. \end{enumerate} \item Justifier par un calcul l’affirmation suivante : \og Si le test d’un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de 80\,\% de chances que cet individu soit allergique \fg. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant 150 habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise. On sait que la probabilité qu’un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à $0,08$. On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de 150 habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres. \item Déterminer la probabilité que 20 personnes exactement parmi les 150 interrogées soient allergiques. \item Déterminer la probabilité qu’au moins 10\,\% des personnes parmi les 150 interrogées soient allergiques. \end{enumerate}