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% bac2023gen-nouvcal-aout-sujet1-exo2.tex On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, par :% \[ u_{n+1}=5u_n-4n-3. \] % \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $u_1=12$. \item Déterminer $u_2$ en détaillant le calcul. \item À l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :% \[ u_n \geqslant n+1. \] \item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :% \[ v_n = u_n - n - 1. \] \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. Donner sa raison et son premier terme $v_0$. \item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n$ :% \[ u_n = 2 \times 5^n + n + 1. \] \item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 10^7$. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center} def suite() : u = 3 n = 0 while ......... : u = ......... n = n+1 return n \end{CodePythonLstAlt} \begin{enumerate} \item Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes. \item Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction ? \end{enumerate} \end{enumerate}
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