% bac2024gen-asie-juin-sujet2-exo4.tex Dans un repère orthonormé $\Rijk$ de l'espace, on considère le plan $(P)$ d'équation : \[ (P) \text{ : } 2x + 2y - 3z + 1 = 0. \] % On considère les trois points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées : \[ A(1;0;1)\text{, } B(2;-1;1) \text{ et } C(-4;-6;5). \] % Le but de cet exercice est d'étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan. \medskip \textbf{Partie A} \smallskip \begin{enumerate} \item Pour chacun des points $A$, $B$ et $C$, vérifier s'il appartient au plan $(P)$. \item Montrer que le point $C'(0;-2;-1)$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(P)$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$. \item On admet l'existence d'un unique point $H$ vérifiant les deux conditions \[ \begin{dcases} H \in (AB) \\ (AB) \text{ et } (HC) \text{ sont orthogonales} \end{dcases}. \] Déterminer les coordonnées du point $H$. \end{enumerate} \begin{Centrage} \begin{tikzpicture} \draw[semithick] (0,0) --++ (6,0) --++ (55:4.5) --++(-6,0) -- cycle ; \coordinate (A) at (2.3,0.6) ; \coordinate (B) at ($(A)+(28:2.7)$) ; \coordinate (C) at ($(B)+(145:2)$) ; \coordinate (C') at (3,2) ; \draw[semithick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle ; \draw[semithick,densely dashed] (A) -- (C') -- (B) (C') -- (C) ; \MarquerPoints[StyleMarque=+,TailleMarque=1.75pt]{A,B,C,C'} \draw (6,0) node[above left] {$(P)$} (A) node[below] {$A$} (B) node[right] {$B$} (C) node[above] {$C$} (C') node[above right] {$C'$} ; \end{tikzpicture} \end{Centrage} \textbf{Partie B} \medskip On admet que les coordonnées du vecteur $\Vecteur{HC}$ sont : $\Vecteur{HC}\begin{pNiceMatrix}[cell-space-limits=1pt]-\tfrac{11}{2}\\-\tfrac{11}{2}\\4\end{pNiceMatrix}$. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de $\Norme{\Vecteur{HC}}$. \item Soit $\mathcal{S}$ l'aire du triangle $ABC$. Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{S}$. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie C} \medskip On admet que $HC' = \sqrt{\frac{17}{2}}$. \begin{enumerate} \item Soit $\alpha = \widehat{CHC'}$. Déterminer la valeur de $\cos(\alpha)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que les droites $(C'H)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires. \item Calculer $\mathcal{S}'$ l'aire du triangle $ABC'$, on donnera la valeur exacte. \item Donner une relation entre $\mathcal{S}$, $\mathcal{S}'$ et $\cos(\alpha)$. \end{enumerate} \end{enumerate}