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% bac2024gen-ce-juin-sujet1-exo3.tex On considère l'équation différentielle $\big(E_0\big)$ : $y'=y$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$. \begin{enumerate} \item Démontrer que l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle $\big(E_0\big)$ est la fonction nulle. \item Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle $\big(E_0\big)$. \end{enumerate} On considère l'équation différentielle $\big(E\big)$ : $y'=y-\cos(x)-3\sin(x)$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$. \begin{enumerate}[resume] \item La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = 2\cos(x) + \sin(x)$. On admet qu'elle est dérivable sur $\R$. Démontrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $\big(E\big)$. \item On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. Démontrer que : « $f$ est solution de $\big(E\big)$ » est équivalent à « $f-h$ est solution de $\big(E_0\big)$ ». \item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $\big(E\big)$. \item Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $\big(E\big)$ telle que $g(0) = 0$. \item Calculer : \[ \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \left(-2\e^{x}+\sin(x)+2\cos(x)\right)\dx. \] \end{enumerate}
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