% bac2024gen-fr-juin-sujet2-exo4.tex Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa dérivée seconde. Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés : \begin{itemize} \item la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ ; \item la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en son point $N(0;2)$ ; \item le point $M(-2;0)$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ et $P(2;0)$ appartenant à $T$. \end{itemize} On précise que la fonction $f$ est strictement positive sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ et qu'elle est strictement croissante sur l'intervalle $\IntervalleOF{-\infty}{-1}$. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=1.5cm,y=1.5cm,Xmin=-2.5,Xmax=5.5,Xgrilles=1,Ymin=-1.55,Ymax=3.25,Ygrilles=1] \TracerAxesGrilles*{-2,-1,...,5}{-1,0,...,3} \draw (-6pt,-3pt) node[below] {$0$} ; \TracerCourbe[Couleur=red]{(x+2)*exp(-x)} \TracerCourbe[Couleur=blue]{-x+2} \MarquerPts{(-2,0)/$M$/above left,(0,2)/$N$/above right,(2,0)/$P$/above right} \draw[red] (-2.15,-1) node[font=\large,below left] {$\mathcal{C}_f$} ; \draw[blue] (3,-1) node[font=\large,below left] {$T$} ; \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \begin{Centrage} \textbf{Partie A : étude graphique.} \end{Centrage} On répondra aux questions suivantes en utilisant le graphique. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner $f(0)$. \item Déterminer $f'(0)$. \end{enumerate} \item Résoudre l'équation $f(x)=0$. \item La fonction $f$ est-elle convexe sur $\R$ ? Justifier. \item Parmi les courbes suivantes, indiquer laquelle peut représenter une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. Justifier. \end{enumerate} \begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{3}{X[c]}},hlines,vlines} Courbe 1 & Courbe 2 & Courbe 3 \\ \begin{GraphiqueTikz}[x=0.375cm,y=0.375cm,Xmin=-4,Xmax=9,Xgrille=2,Xgrilles=1,Ymin=-8,Ymax=4,Ygrille=2,Ygrilles=1]<TailleGrad=1.75pt> \TracerAxesGrilles*[Police=\footnotesize]{-2,0,...,8}{-8,-6,...,2} \draw (-6pt,-1.75pt) node[below,font=\footnotesize] {$0$} ; \TracerCourbe[Couleur=purple]{(-1-x)*exp(-x)} \end{GraphiqueTikz} & \begin{GraphiqueTikz}[x=0.375cm,y=0.375cm,Xmin=-4,Xmax=9,Xgrille=2,Xgrilles=1,Ymin=-8,Ymax=4,Ygrille=2,Ygrilles=1]<TailleGrad=1.75pt> \TracerAxesGrilles*[Police=\footnotesize]{-2,0,...,8}{-8,-6,...,2} \draw (-6pt,-1.75pt) node[below,font=\footnotesize] {$0$} ; \TracerCourbe[Couleur=purple]{(-3-x)*exp(-x)} \end{GraphiqueTikz} & \begin{GraphiqueTikz}[x=0.375cm,y=0.375cm,Xmin=-4,Xmax=9,Xgrille=2,Xgrilles=1,Ymin=-8,Ymax=4,Ygrille=2,Ygrilles=1]<TailleGrad=1.75pt> \TracerAxesGrilles*[Police=\footnotesize]{-2,0,...,8}{-8,-6,...,2} \draw (-6pt,-1.75pt) node[below,font=\footnotesize] {$0$} ; \TracerCourbe[Couleur=purple]{(x)*exp(-x)} \end{GraphiqueTikz} \\ \end{tblr} \begin{Centrage} \textbf{Partie B : recherche d'une expression algébrique.} \end{Centrage} On admet que la fonction $f$ est de la forme $f(x)=(ax+b)\,\e^{-x}$, où $a$ et $b$ sont des constantes réelles. Pour répondre aux questions suivantes, on utilisera les résultats de la \textbf{partie A}. \begin{enumerate} \item Justifier que $b=2$. \item Justifier que $-2a+b=0$ puis en déduire la valeur de $a$. \item Déterminer une expression algébrique de $f$. Justifier. \end{enumerate} \begin{Centrage} \textbf{Partie C : étude algébrique.} \end{Centrage} On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = (x + 2)\,\e^{-x}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. \item On admet que $f'(x)=(-x-1)\,\e^{-x}$. Dresser le tableau de variations complet de $f$. Justifier. \item \begin{enumerate} \item Étudier la convexité de $f$. \item Préciser les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$. \end{enumerate} \item Pour tout nombre réel $t \geqslant 0$, on pose : \[ I(t)=\int_{-2}^t f(x)\dx. \] \begin{enumerate} \item En utilisant une intégration par parties, montrer que : \[ I(t)=(-t-3)\,\e^{-t}+\e^2. \] \item En déduire un exemple de surface non limitée dont l'aire est finie. \end{enumerate} \end{enumerate}