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% bac2024gen-fr-septembre-sujet1-exo3.tex \textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} \smallskip \textit{Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.} \begin{enumerate} \item On considère une suite $\Suite{t}$ vérifiant la relation de récurrence : \[ \text{pour tout entier naturel } n,~t_{n+1}=-0,8t_n+18. \] % \textbf{Affirmation 1} : La suite $\Suite{w}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n=t_n-10$ est géométrique. \smallskip \item On considère une suite $\Suite{S}$ qui vérifie pour tout entier naturel $n$ non nul : \[ 3n-4 \leqslant S_n \leqslant 3n+4. \] % La suite $\Suite{u}$ est définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par : $u_n=\frac{S_n}{n}$. \textbf{Affirmation 2} : La suite $\Suite{u}$ converge. \smallskip \item On considère la suite $\Suite{v}$ définie par :% \[ v_1=2 \text{ et pour tout entier naturel } n\geqslant1,~v_{n+1}=2-\frac{1}{v_n}. \] % \textbf{Affirmation 3} : Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $v_{n}=\frac{n+1}{n}$. \smallskip \item On considère la suite $\Suite{u}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \e^n-n$. \textbf{Affirmation 4} : La suite $\Suite{u}$ converge. \smallskip \item On considère la suite $\Suite{u}$ définie à l'aide du script écrit ci-dessous en langage \textsf{Python}, qui renvoie la valeur de $u_n$. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=10cm]{center} def u(n) : valeur = 2 for k in range(n) : valeur = 0.5 * (valeur + 2/valeur) return valeur \end{CodePythonLstAlt} On admet que $\Suite{u}$ est décroissante et vérifie pour tout entier naturel $n$ : \[ \sqrt{2} \leqslant u_n \leqslant 2. \] % \textbf{Affirmation 5} : La suite $\Suite{u}$ converge vers $\sqrt{2}$. \end{enumerate}
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