% bac2024gen-poly-septembre-sujet1-exo4.tex On considère un cube $ABCDEFGH$ et l’espace est rapporté au repère orthonormal \RepereEspace{A}{AB}{AD}{AE}. Pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$, on considère les points $K$ et $L$ de coordonnées : \[ K \CoordPtEsp{m}{0}{0} \text{ et } L \CoordPtEsp{1-m}{1}{1}. \] \begin{Centrage} \begin{EnvTikzEspace}[UniteX={-5:0.9cm},UniteY={25:0.5cm},UniteZ={90:1cm}] \def\LCB{4.8} %placement des points avec labels \PlacePointsEspace{A/0,0,0/bg B/\LCB,0,0/b C/\LCB,\LCB,0/d D/0,\LCB,0/hg E/0,0,\LCB/g F/\LCB,0,\LCB/bd G/\LCB,\LCB,\LCB/d H/0,\LCB,\LCB/h} \PlacePointsEspace{K/1.37,0,0/b L/3.43,\LCB,\LCB/h} %section \fill[orange,opacity=0.25] (E)--(L)--(C)--(K)--cycle ; \TraceSegmentsEspace[very thick,dashed,orange]{K/C C/L} \TraceSegmentsEspace[very thick,orange]{K/E E/L} %segments pointillés \TraceSegmentsEspace[very thick,dashed]{A/D D/C D/H} %segments pleins \TraceSegmentsEspace[very thick]{A/B B/C C/G G/H H/E E/A E/F B/F F/G} %Marques points \MarquePointsEspace{A,B,C,D,E,F,G,H,K,L} \end{EnvTikzEspace} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points $E$ et $C$ dans ce repère. \item Dans cette question, $m=0$. Ainsi, le point $L\CoordPtEsp{1}{1}{1}$ est confondu avec le point $G$, le point $K\CoordPtEsp{0}{0}{0}$ est confondu avec le point $A$ et le plan $(LEK)$ est donc le plan $(GEA)$. \begin{enumerate} \item Justifier que le vecteur $\Vecteur{DB} \CoordVecEsp{1}{-1}{0}$ est normal au plan $(GEA)$. \item Déterminer une équation cartésienne du plan $(GEA)$. \end{enumerate} \end{enumerate} On s’intéresse désormais à la nature de $CKEL$ en fonction du paramètre $m$. \begin{enumerate}[resume] \item Dans cette question, $m$ est un réel quelconque de l’intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $CKEL$ est un parallélogramme. \item Justifier que $\Vecteur{KC}\cdot\Vecteur{KE}=m(m-1)$. \item Démontrer que $CKEL$ est un rectangle si, et seulement si, $m = 0$ ou $m = 1$. \end{enumerate} \item Dans cette question, $m=\frac12$. Ainsi $L$ a pour coordonnées \CoordPtEsp{\frac12}{1}{1} et $K$ a pour coordonnées \CoordPtEsp{\frac12}{0}{0}. \begin{enumerate} \item Démontrer que le parallélogramme $CKEL$ est alors un losange. \item À l’aide de la question {3.(b)}, déterminer une valeur approchée au degré près de la mesure de l’angle $\widehat{CKE}$. \end{enumerate} \end{enumerate}