% bac2025gen-amnord-mai-sujet2-exo4.tex On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{\pi}$ par $f(x)=\e^{x}\,\sin (x)$. On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère. \medskip \textbf{PARTIE A} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\IntervalleFF{0}{\pi}$, $f^{\prime}(x)=\e^{x}\,(\sin (x)+\cos (x))$. \item Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{\frac{\pi}{2}}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 0 . \item Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{\frac{\pi}{2}}$. \item En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\IntervalleFF{0}{\frac{\pi}{2}}$, $\e^{x}\,\sin (x) \geqslant x$. \end{enumerate} \item Justifier que le point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion. \end{enumerate} \textbf{PARTIE B} \medskip On note $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \e^{x}\,\sin (x) \dx$ et $J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \e^{x}\,\cos(x) \dx$. \begin{enumerate} \item En intégrant par parties l'intégrale I de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes : $\quad I=1+J \quad$ et $\quad I=\e^{\frac{\pi}{2}}-J$. \item En déduire que $I=\frac{1+\e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$. \item On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x$. Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{\pi}$. Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=\frac{\pi}{2}$. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=0.5cm,Xmin=-1.25,Xmax=4,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-1.5,Ymax=8.75,Ygrille=1,Ygrilles=1] \TracerAxesGrilles[Grille=false,Police=\small,Elargir=2.5mm]{-1,1,2,3,4}{2,4,6,8} \draw (-2pt,-2pt) node[below left] {$0$} ; \DefinirCourbe[Nom=cf]< f >{exp(x)*sin(x)} \DefinirCourbe[Nom=cg]< g >{x} \TracerIntegrale[Type=fct/fct,Style=hachures,Couleur=darkgray]{f(x)}[g(x)]{0}{pi/2} \draw[darkgray,pfltraitantec] ({pi/2},{pi/2})--({pi/2},0) node[below,font=\small] {$\frac{\pi}{2}$} ; \TracerCourbe[Couleur=red,Debut=0,Fin=pi]{f(x)} \TracerCourbe[Couleur=blue,Debut=0,Fin=pi]{g(x)} \PlacerTexte[Police=\large,Couleur=red]{(3,7)}{$\mathcal{C}_{f}$} \PlacerTexte[Police=\large,Couleur=blue]{(2.25,3)}{$\mathcal{C}_{g}$} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \end{enumerate}