% bac2025gen-ce-juin-sujet2-exo2.tex \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x) = \frac{1}{a + e^{-bx}} \] % où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles strictement positives. \smallskip On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. La fonction $f$ admet pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous : \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=0.2cm,y=5cm,Xmin=-5,Xmax=30,Xgrille=5,Xgrilles=5,Ymin=0,Ymax=1.1,Ygrille=0.1,Ygrille=0.1] \TracerAxesGrilles[Elargir=2.5mm]{auto}{0.5,1} \DefinirCourbe[Nom=d,Trace,Couleur=blue]< d >{0.05*x+0.5} \DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=red,Debut=0]< f >{1/(1+exp(-0.2*x))} \MarquerPts[Style=x]{(0,0.5)/$A$/below right,(10,1)/$B$/below right} \PlacerTexte[Couleur=red,Police=\large]{(27.5,0.925)}{$C_f$} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} On considère les points $A(0; 0,5)$ et $B(10; 1)$. On admet que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$. \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f(10)$. \item On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$. Donner une interprétation graphique de ce résultat. \item Justifier que $a = 1$. \item Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de la constante $b$. \item En déduire la valeur de $b$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x) = \frac{1}{1 + e^{-0,2x}} \] \begin{enumerate} \item Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. \item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ positif tel que $f(\alpha) = 0,97$. \item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel $\alpha$ par deux nombres entiers consécutifs. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \smallskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$, $f(x) = \dfrac{e^{0,2x}}{1 + e^{0,2x}}$. \item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. \item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 40]$, c'est-à-dire : \[ I = \frac{1}{40} \int_{0}^{40} \frac{1}{1 + e^{-0,2x}} \dx. \] % On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au millième. \end{enumerate}