%bac2026gen-ag-juin-sujet2-exo4.tex On considère la fonction $f_k$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[ f_k(x) = 1 - x + \frac{k(1+\ln x)}{x} \] où $k$ est un réel strictement positif et $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On désigne par $\mathcal{C}_k$ la représentation graphique de la fonction $f_k$ dans un repère orthonormé. On admet que la fonction $f_k$ est deux fois dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $f_k'$ sa dérivée première et $f_k''$ sa dérivée seconde. \medskip \textbf{Partie A : étude d'un premier cas particulier} \medskip Dans cette partie, on se place dans le cas $k = 2$. La courbe $\mathcal{C}_2$ est représentée sur le graphique ci-dessous. On précise que : \begin{itemize} \item le point $A$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_2$ ; \item $T_2$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point $A$. \end{itemize} \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=2.25cm,y=2.25cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.75,Xgrilles=0.5,Ymin=-1.6,Ymax=2.4,Ygrilles=0.5] \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{} \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1} \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=0.1,Pas=0.01]{1-x+2*(1+ln(x))/x} \TracerCourbe[Couleur=red,StyleTrace=dashed]{3.426-1.368*x} \MarquerPts[Couleur=black,Style=o]{(1.6487,1.171)/$A$/above right} \PlacerTexte[Couleur=blue]{(0.5,-1.25)}{$\mathcal{C}_2$} \PlacerTexte[Couleur=red]{(1,2.35)}{$T_2$} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item On considère une primitive $F_2$ de la fonction $f_2$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. Avec la précision permise par le graphique, donner les variations de la fonction $F_2$ sur l'intervalle $\intervOF{0}{3}$. \item Parmi les trois courbes ci-dessous, indiquer celle qui représente $f_2'$ et celle qui représente $f_2''$. Justifier. \begin{Centrage} \begin{tabular}{ccc} \begin{GraphiqueTikz}[x=1.25cm,y=1.25cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.55,Xgrilles=0.5,Ymin=-1.55,Ymax=2.35,Ygrilles=0.5] \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{} \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1} \DefinirCourbe[Trace,Couleur=black,Debut=0.5,Pas=0.01]{-1-2*ln(x)/(x*x)} \end{GraphiqueTikz} & \begin{GraphiqueTikz}[x=1.25cm,y=1.25cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.55,Xgrilles=0.5,Ymin=-1.55,Ymax=2.35,Ygrilles=0.5] \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{} \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1} \DefinirCourbe[Trace,Couleur=black,Debut=1.01,Pas=0.01]{(-2+4*ln(x))/(x^3)} \end{GraphiqueTikz} & \begin{GraphiqueTikz}[x=1.25cm,y=1.25cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.55,Xgrilles=0.5,Ymin=-1.55,Ymax=2.35,Ygrilles=0.5] \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{} \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1} \DefinirCourbe[Trace,Couleur=black,Debut=0,Pas=0.01]{1.5*(sqrt(x)-sqrt(2.5))} \end{GraphiqueTikz} \\ Courbe 1 & Courbe 2 & Courbe 3 \\ \end{tabular} \end{Centrage} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : étude d'un second cas particulier} \medskip Dans cette partie on se place dans le cas $k = 1$. On considère la fonction $f_1$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par :% \[ f_1(x) = 1 - x + \frac{1+\ln x}{x}. \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x > 0$ :% \[ f_1'(x) = -1 - \frac{\ln x}{x^2}. \] \item Déterminer la limite de $f_1'(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \item On admet que : \begin{itemize} \item l'axe des ordonnées est une asymptote de la courbe de $f_1'$ ; \item pour tout réel $x > 0$, $f_1''(x) = \dfrac{2\ln x - 1}{x^3}$. \end{itemize} On donne ci-dessous le tableau de variations de $f_1'$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \medskip \begin{Centrage} \begin{tikzpicture}[double distance=2pt] \tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$x$/1,$f_1'$/2}{$0$,$\sqrt{\e}$,$+\infty$} \tkzTabVar{D+/{$+\infty$},-/{$-1-\tfrac{1}{2\e}$},+/{$-1$}/} \end{tikzpicture} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Justifier les variations de la fonction $f_1'$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ et la valeur de l'extremum. \item Justifier la limite de la fonction $f_1'$ en $0$. \item Montrer qu'il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation $f_1'(x) = 0$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. En déduire que $f_1$ admet un maximum sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \item Recopier et compléter les pointillés du programme écrit en langage \textsf{Python} ci-dessous, afin qu'il renvoie une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la solution $\alpha$ de l'équation $f_1'(x) = 0$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=10cm]{center} from math import log as ln def d(x) : return -1 - ln(x) / x**2 def alpha() : u = 0.5 while d(u) ... 0 : u = ... return u \end{CodePythonLstAlt} On rappelle que \texttt{x**2} désigne $x^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : $\bm{k}$ quelconque} \medskip On considère la fonction $h$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par $h(x) = \dfrac{1+\ln x}{x}$ et la fonction $H$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par $H(x) = \dfrac{1}{2}(1+\ln x)^2$. On admet que $H$ est dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $H$ est une primitive de $h$. On rappelle que $k$ est un réel strictement positif et que $f_k$ est la fonction définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[ f_k(x) = 1 - x + \frac{k(1+\ln x)}{x}. \] \item Existe-t-il une valeur de $k$ pour laquelle la valeur moyenne de la fonction $f_k$ sur l'intervalle $\intervFF{1}{\e}$ est égale à $0$ ? Justifier. \end{enumerate}