🥨 Code source LaTeX par exercice

🔎

📄 Fichier : bac2026gen-amnord-mai-sujet2-exo4.tex

↩ Retour 💾 Télécharger

📄 bac2026gen-amnord-mai-sujet2-exo4.tex

%bac2026gen-amnord-mai-sujet2-exo4.tex On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par $f(x) = x(\ln x)^2$. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \item Pour tout réel $x > 0$, on pose $g(x) = x \ln x$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x > 0$, on a $f(x) = 4{\Big(g\!\big(\sqrt{x}\big)\Big)}^{2}$. \item En déduire $\lim_{x \to 0} f(x)$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on étudie les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, $f'(x) = \left(\ln x\right)\left(2 + \ln x\right)$. \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \item Donner la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOF{0}{1}$. \end{enumerate} \item On considère l'équation $f(x) = 2$. \begin{enumerate} \item Justifier que, sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, cette équation admet une unique solution. On note $\alpha$ cette solution. \item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$. \end{enumerate} \item Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $\intervOF{0}{1}$. \begin{enumerate} \item Donner une interprétation géométrique de $\displaystyle\int_a^1 f(x) \dx$. \item À l'aide d'une intégration par parties, justifier que :% \[ \int_a^1 f(x) \dx = -\frac{a^2}{2}(\ln a)^2 - \int_a^1 x\ln x \dx. \]%erreur énoncé sujet original \item En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que :% \[ \int_a^1 f(x) \dx = -\frac{a^2}{2}(\ln a)^2 + \frac{a^2}{2}\ln a + \frac{1}{4} - \frac{a^2}{4}. \] \item Déterminer la limite de $\displaystyle\int_a^1 f(x)\ dx$ quand $a$ tend vers $0$. \end{enumerate} \end{enumerate}
✓ Code copié dans le presse-papier !