%bac2026gen-fr-juin-sujet2-exo4.tex \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$ dont on donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthogonal. On note $f'$ sa fonction dérivée. On précise que : \begin{itemize} \item la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $C$ d'abscisse $1$ ; \item la tangente $T_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A\left(\dfrac{1}{2};0\right)$ passe par le point $B(1;\e^2)$. \end{itemize} \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=1.5cm,y=0.75cm,Xmin=-0.25,Xmax=4.75,Xgrilles=1,Ymin=-3.5,Ymax=8.5,Ygrilles=1] \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{} \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1} \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue!50!black,Pas=0.01]{(2*x-1)*exp(-2*x+3)} \TracerCourbe[Couleur=red,Debut=0.05,Fin=1.15]{2*exp(2)*(x-0.5)} \MarquerPts[Couleur=black,Style=o]{(0.5,0)/$A$/below right,(1,7.389)/$B$/left,(1,2.718)/$C$/above} \PlacerTexte[Couleur=blue!50!black]{(3.15,0.725)}{$\mathcal{C}_f$} \PlacerTexte[Couleur=red]{(1.25,8.25)}{$T_A$} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item À l'aide du graphique ci-dessus : \begin{enumerate} \item Donner $f'(1)$. \item Donner la solution de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $\intervFF{0}{3}$. \end{enumerate} \item Déterminer $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$. \item Parmi les trois courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ ci-dessous, deux représentent des primitives de la fonction $f$. Indiquer lesquelles et justifier. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=1.9cm,y=1.1cm,Xmin=-0.25,Xmax=4.5,Xgrilles=1,Ymin=-2.75,Ymax=5.25,Ygrilles=1] \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{} \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1} \DefinirCourbe[Trace,StyleTrace=dashed,Debut=0]{-x*exp(-2*x+3)+exp(1)+1} \DefinirCourbe[Trace,StyleTrace=densely dotted,Debut=0]{-x*exp(-2*x+3)+exp(1)-1} \DefinirCourbe[Trace,StyleTrace=densely dashed]{-(x-0.4)*exp(-2*(x-.4)+3)+exp(1)-1} \PlacerTexte[Couleur=black]{(2.35,3.65)}{$\mathcal{C}_1$} \PlacerTexte[Couleur=black]{(2.35,1.65)}{$\mathcal{C}_2$} \PlacerTexte[Couleur=black]{(2.35,0.5)}{$\mathcal{C}_3$} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{wrapstuff}[r] \begin{GraphiqueTikz}[x=1.45cm,y=1.45cm,Xmin=0.4,Xmax=4.2,Ymin=-3,Ymax=3] \DefinirCourbe[Trace,Debut=0.5,Fin=3.312,Couleur=blue!50!black]{(2*x-1)*exp(-2*x+3)} \DefinirCourbe[Trace,Debut=0.5,Fin=3.312,Couleur=blue!50!black]{-(2*x-1)*exp(-2*x+3)} \draw[pflcourbe,blue!50!black](3.312,-0.15)--(3.312,0.15) ; \draw[pflcourbe,<->,>=stealth](3.45,-0.15)--(3.45,0.15) node[pos=0.5,right] {0,3~cm}; \PlacerTexte[]{(2.3,-2.5)}{Fig. 1} \end{GraphiqueTikz} \end{wrapstuff} Un industriel doit créer un logo représentant la forme ci-dessous (Fig.~1). La dimension de $0{,}3$~cm indiquée sur la figure est une contrainte imposée par le client. L'industriel choisit de modéliser le contour de ce logo à l'aide d'une portion de la courbe de la fonction $f$ vue en partie A, et de l'image de cette portion par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, sur un intervalle $\intervFF{0{,}5}{\alpha}$. Le nombre $\alpha$ est un réel supérieur à $1$ que l'on déterminera dans cette partie. L'ensemble est représenté graphiquement dans un repère orthonormé (Fig.~2) d'unité $1$~cm. \pagebreak \begin{wrapstuff}[r] \begin{GraphiqueTikz}[x=1.45cm,y=1.45cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.75,Xgrilles=1,Ymin=-2.95,Ymax=3.15,Ygrilles=1] \TracerAxesGrilles*[Origine,Derriere]{}{} \DefinirCourbe[Debut=0.5,Fin=3.3,Pas=0.01,Nom=cfA]<fA>{(2*x-1)*exp(-2*x+3)} \DefinirCourbe[Debut=0.5,Fin=3.3,Pas=0.01,Nom=cfB]<fB>{-(2*x-1)*exp(-2*x+3)} \TracerIntegrale [Bornes=abs,Couleurs=blue!50!black/cyan!50,Bord=false]% {fA(x)}{0.5}{3.3} \TracerIntegrale [Bornes=abs,Couleurs=blue!50!black/cyan!50,Bord=false]% {fB(x)}{0.5}{3.3} \TracerCourbe[Debut=0.5,Fin=3.3,Couleur=blue!50!black]{fA(x)} \TracerCourbe[Debut=0.5,Fin=3.3,Couleur=blue!50!black,StyleTrace=dashed]{fB(x)} \PlacerTexte[Couleur=blue!50!black]{(2,1.7)}{$\mathcal{C}_f$} \PlacerTexte[Couleur=black]{(3.5,-0.25)}{$\alpha$} \PlacerTexte[Couleur=black]{(2.5,-3)}{Fig.~2} \TracerAxesGrilles*[Origine,Devant]{}{} \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1} \end{GraphiqueTikz} \end{wrapstuff} On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$ par :% \[ f(x) = (2x-1)\,\e^{-2x+3}. \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$ : \[ f(x) = \e^2 \times \frac{2x-1}{\e^{2x-1}}. \] \item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. \textit{(On pourra poser $X = 2x-1$.)} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$, $f'(x) = (-4x+4)\,\e^{-2x+3}$. \item Construire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$. \end{enumerate} \item Justifier que la contrainte imposée par le client se traduit par l'égalité $f(\alpha) = 0{,}15$. Montrer qu'il existe une unique valeur de $\alpha$ dans l'intervalle $\intervFO{1}{+\infty}$ qui permette de vérifier cette égalité. En donner une valeur arrondie au dixième. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip On fabrique un porte-clé en découpant une plaque d'acier suivant la forme du logo représenté par la surface grisée en figure 2 de la partie B. On précise que cette plaque a une épaisseur de $0{,}2$~cm. \begin{enumerate} \item On considère : \[ I = \int_{0{,}5}^{3{,}3} f(x)\,dx. \] À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale $I$ arrondie au dixième est égale à $3{,}6$. \item On précise que le volume du porte-clé est égal à : \[ \text{Aire du logo} \times \text{épaisseur de la plaque}. \] Déterminer le volume du porte-clé en cm$^3$, arrondi au dixième. \end{enumerate}