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%bac2026gen-fr-septembre-sujet2-exo2.tex Soit $f$ la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ définie par $f(x) = (3x-1)\e^{-x} + 2$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vect{\imath},\vect{\jmath})$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat. \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x) = (4-3x)\e^{-x}$. \item Étudier le signe de la dérivée et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$. On notera $\alpha$ cette solution. \item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \item En déduire le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. \item Soit la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x) = (-3x-2)\e^{-x} + 2x$. On admet que la fonction $F$ est une primitive de $f$. Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$. \end{enumerate} \item On admet que la droite d'équation $y = 4x+1$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. Vérifier que, pour tout réel $x$, $(3x-1)\e^{-x} + 2 \leqslant 4x+1$. \end{enumerate}
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