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%bac2026gen-fr-septembre-sujet2-exo4.tex L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$ d'unité $1$~cm. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère les points de l'espace $R(1;0;6)$, $S(1;3;2)$, $T(3{,}5;7;5)$ et $A(-2{,}5;8;4{,}5)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les points $R$, $S$ et $T$ ne sont pas alignés. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}-10\\4\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(RST)$. \item En déduire une équation cartésienne du plan $(RST)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le point $A$ n'appartient pas au plan $(RST)$. \item On note $d_1$ la droite passant par le point $A$ et orthogonale au plan $(RST)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d_1$. \item Soit le point $H$ projeté orthogonal de $A$ sur $(RST)$. Vérifier que ses coordonnées sont $(2{,}5;6;3)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle $RST$ est rectangle en $S$. \item Vérifier que le volume du tétraèdre $ARST$ est égal à $\dfrac{625}{24}$~cm$^3$. On rappelle que le volume du tétraèdre est donné par la formule : \[ V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur} \] \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $M(x;y;z)$ un point de la droite $d_2$ de représentation paramétrique : \[ \begin{cases} x = -4{,}5 + s \\ y = 4 - 4s \\ z = 5{,}5 - 2s \end{cases}, \quad s \in \mathbb{R} \] \begin{enumerate} \item Démontrer que $AM^2 = 21s^2 + 24s + 21$. \item Déterminer les coordonnées du point $M$ de la droite $d_2$ pour lequel la distance $AM$ est minimale. \end{enumerate}
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