%bac2026gen-poly-juin-sujet1-exo3.tex On considère la fonction $f$ définie sur $\intervFO{0}{+\infty}$ par :% \[ f(x) = \ln(3x^2 + 1). \] On admet que la fonction $f$ est croissante sur $\intervFO{0}{+\infty}$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la suite $\suiten[u]$ définie par~: \[ u_0 = 2 \text{ et pour tout entier } n \geqslant 0,~ u_{n+1} = \ln{\left(3u_n^2 + 1\right)}. \] \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$. \item La suite $\suiten[u]$ est représentée ci-dessous. Émettre des conjectures sur le sens de variation et la convergence de la suite $\suiten[u]$. \begin{Centrage}%à voir si tkz-grapheur... \begin{GraphiqueTikz}[x=0.8cm,y=1.3cm,Xmin=0,Ymin=0,Xmax=13.5,Xgrille=2,Xgrilles=2,Ymax=4.3,Ygrilles=1] \TracerAxesGrilles*[Origine]{0,2,...,12}{0,1,...,4} \ifdef{\TracerNuageSuiteF}%compatibilité dernière version ;-) {% \TracerNuageSuiteF*[CouleurNuage=red,Style=o,Debut=0,Fin=13]{2}{ln(3*x^2+1)} }% {% \foreach \pt/\val in { 0/2, 1/2.565, 2/3.032, 3/3.353, 4/3.547, 5/3.657, 6/3.717, 7/3.748, 8/3.765, 9/3.773, 10/3.778, 11/3.780, 12/3.781, 13/3.782 } { \filldraw[red] (\pt,\val) circle(1.75pt); } }% \PlacerTexte[Position=right]{(axeox-ee)}{$n$} \PlacerTexte[Position=above right]{(axeoy-nn)}{$u_n$} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$~: \[ 2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4. \] \item En déduire que la suite $\suiten[u]$ est convergente. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On note $\ell$ la limite de la suite $\suiten[u]$. Le but de cette partie est de trouver une valeur approchée de la limite $\ell$. On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $\intervFO{0}{+\infty}$ par~: \[ g(x) = \ln(3x^2+1) - x. \] \begin{enumerate} \item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Démontrer que pour tout réel $x \in \intervFO{0}{+\infty}$~: \[ g'(x) = \dfrac{-3x^2 + 6x - 1}{3x^2 + 1}. \] \item Démontrer que la fonction $g$ est strictement décroissante sur $\intervFF{2}{4}$. \item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\intervFF{2}{4}$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près. \item Justifier que $\ell = \alpha$. \end{enumerate}