%bac2026gt-obli-poly-septembre-sujet1-exo2.tex En 2025, une étude démographique indique qu'il y a eu $60\,000$ naissances et $40\,000$ décès dans une population donnée. Les spécialistes modélisent que le nombre de naissances diminuera de $2\,\%$ chaque année, tandis que le nombre de décès augmentera de $900$ par an. Soit $n$ un entier naturel. On note : \begin{itemize} \item $u_n$ le nombre de naissances prévues l'année $2025 + n$ ; \item $v_n$ le nombre de décès prévus l'année $2025 + n$. \end{itemize} On a donc $u_0 = 60\,000$ et $v_0 = 40\,000$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de naissances prévues l'année 2026. \item Déterminer le nombre de décès prévus l'année 2026. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}98\,u_n$. \item La suite $\suiten$ est-elle arithmétique ou géométrique ? Préciser sa raison. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que la suite $\suiten[v]$ est arithmétique. Préciser sa raison. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item La feuille de calcul ci-dessous donne les valeurs successives de $u_n$ et de $v_n$ (les valeurs sont évidemment arrondies à l'unité). \medskip \hfill% \begin{tikzpicture} \tableur*[9]{A/1.8cm,B/1.8cm,C/1.8cm} \celtxt*[align=center]{A}{1}{$n$} \celtxt*[align=center]{B}{1}{$u_n$} \celtxt*[align=center]{C}{1}{$v_n$} \renumLine{4}{$\ldots$} \renumLine{5}{11}\renumLine{6}{12}\renumLine{7}{13}\renumLine{8}{14}\renumLine{9}{15} \colonnetxt*[align=center]{A}<2>{$0$,$1$,$\ldots$,$9$,$10$,$11$,$12$,$13$} \colonnetxt*[align=center]{B}<2>{$60\,000$,$58\,800$,$\ldots$,$50\,025$,$49\,024$,$48\,044$,$47\,083$,$46\,141$} \colonnetxt*[align=center]{C}<2>{$40\,000$,$40\,900$,$\ldots$,$48\,100$,$49\,000$,$49\,900$,$50\,800$,$51\,700$} \end{tikzpicture}% \hfill\null \begin{enumerate} \item Quelle formule doit-on saisir dans la cellule \textsf{C3} de sorte que, recopiée vers le bas, elle permette d'afficher les valeurs de la suite $\suiten[v]$ ? \item Justifier, par un calcul, pourquoi $49\,000$ est affiché dans la cellule \textsf{C12}. \end{enumerate} \item On appelle solde naturel annuel la différence entre le nombre de naissances et le nombre de décès de l'année. Ainsi le solde naturel en 2025 est $20\,000$. À l'aide de la feuille de calcul ci-dessus, déterminer à partir de quelle année le solde naturel de cette population devient négatif. \end{enumerate}