%bac2026gt-spec-amnord-juin-sujet1-exo2.tex Durant une fête foraine, une urne contient dix boules. Chaque boule est soit verte, soit rouge, indiscernable au toucher. Un jeu est proposé aux personnes présentes à la fête foraine. Pour y participer le joueur doit d'abord payer $1$~euro. Ensuite, \begin{itemize} \item le joueur tire une première boule qu'il donne au forain, celui-ci note sa couleur puis remet la boule dans l'urne ; \item le joueur tire une deuxième boule, le forain note la couleur de ce deuxième tirage et remet à nouveau la boule dans l'urne. \end{itemize} Voici les récompenses qu'il obtient : \begin{itemize} \item si le joueur a tiré deux boules rouges, il reçoit $3$~euros ; \item si le joueur a tiré deux boules vertes, il reçoit $1$~euro ; \item sinon il ne reçoit pas d'argent. \end{itemize} \begin{center}\textbf{Partie A}\end{center} Dans cette partie, on considère que cette urne contient $1$ boule rouge et $9$ boules vertes. On note : \begin{itemize} \item $R_1$ l'événement : « La première boule tirée est rouge. » \item $R_2$ l'événement : « La deuxième boule tirée est rouge. » \end{itemize} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation. \begin{Centrage} \ArbreProbasTikz[Type=2x2,PositionProbas=auto]{$R_1$/\numdots/,$R_2$/\numdots/,$\overline{R_2}$/\numdots/,$\overline{R_1}$/\numdots/,$R_2$/\numdots/,$\overline{R_2}$/\numdots/,} \end{Centrage} \item On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue après les deux tirages et les frais de participation au jeu de $1$~euro. \begin{enumerate} \item Donner les valeurs prises par la variable aléatoire $X$. \item Montrer que $P(X = -1) = \dfrac{18}{100}$. \item Recopier sur votre feuille et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ : \medskip \begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.75\linewidth,colspec={X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]}} $k$ & & & \\ $P(X = k)$ & & & \\ \end{tblr} \medskip \item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat. \end{enumerate} \end{enumerate}