%bac2026gt-spec-ce-juin-sujet1-exo2.tex Un maire souhaite végétaliser sa ville. Pour cela, il décide de planter des mûriers platanes dans les différents parcs. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Au moment de la plantation, un mûrier platane mesure 1 mètre. On suppose que chaque année la hauteur de l'arbre augmente de 40 cm. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la hauteur de l'arbre, en mètres, $n$ années après sa plantation. Ainsi $u_0 = 1$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$. \item Quelle sera la hauteur de l'arbre deux années après sa plantation ? \end{enumerate} \item Quelle est la nature de la suite $\suiten$ ? Justifier. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item Au bout de combien d'années le mûrier atteindra-t-il 9 mètres de haut ? \end{enumerate} \pagebreak \textbf{Partie B} \smallskip Au moment de la plantation, l'arbre possède un tronc et deux branches. Un an après la plantation, on observe 4 nouvelles branches. Deux ans après la plantation, on observe 8 nouvelles branches. \smallskip Chaque année, le nombre de nouvelles branches double. \begin{Centrage} \begin{tikzpicture} %arbre Gauche \draw[ultra thick] (0,0) -- (0,1.5) ; \draw[thick] (0,0) -- (0,1.5) -- (1,2.25) (0,1.5) -- (-1,2.25) ; \draw[thin,black,fill=darkgray] (0,0) circle[radius=2pt] (0,1.5) circle[radius=2pt] (-1,2.25) circle[radius=2pt] (1,2.25) circle[radius=2pt]; \draw (0,0.125) node[font=\small\sffamily,above left] {tronc} ; \draw (0,1.625) node[font=\small\sffamily,left=10pt] {branche} ; \draw (0,1.562) node[font=\small\sffamily,right=10pt] {branche} ; %arbre Milieu \begin{scope}[shift={(4.25,0)}] \draw[ultra thick] (0,0) -- (0,1.5) ; \draw[thick] (0,0) -- (0,1.5) -- (1,2.25) (0,1.5) -- (-1,2.25) (-1,2.25) -- (-1.5,2.75) (-1,2.25) -- (-0.5,2.75) (1,2.25) -- (0.5,2.75) (1,2.25) -- (1.5,2.75) ; \draw[thin,black,fill=darkgray] (0,0) circle[radius=2pt] (0,1.5) circle[radius=2pt] (-1,2.25) circle[radius=2pt] (1,2.25) circle[radius=2pt] (-1.5,2.75) circle[radius=2pt] (-0.5,2.75) circle[radius=2pt] (0.5,2.75) circle[radius=2pt] (1.5,2.75) circle[radius=2pt]; \end{scope} %arbre Droit \begin{scope}[shift={(9.25,0)}] \draw[ultra thick] (0,0) -- (0,1.5) ; \draw[thick] (0,0) -- (0,1.5) -- (1,2.25) (0,1.5) -- (-1,2.25) (-1,2.25) -- (-1.5,2.75) (-1,2.25) -- (-0.5,2.75) (1,2.25) -- (0.5,2.75) (1,2.25) -- (1.5,2.75) ; \draw[thick] (-1.5,2.75) -- ({-1.5-0.375},3.5) (-1.5,2.75) -- ({-1.5+0.375},3.5) ; \draw[thick] (-0.5,2.75) -- ({-0.5-0.375},3.5) (-0.5,2.75) -- ({-0.5+0.375},3.5) ; \draw[thick] (0.5,2.75) -- ({0.5-0.375},3.5) (0.5,2.75) -- ({0.5+0.375},3.5) ; \draw[thick] (1.5,2.75) -- ({1.5-0.375},3.5) (1.5,2.75) -- ({1.5+0.375},3.5) ; \draw[thin,black,fill=darkgray] (0,0) circle[radius=2pt] (0,1.5) circle[radius=2pt] (-1,2.25) circle[radius=2pt] (1,2.25) circle[radius=2pt] (-1.5,2.75) circle[radius=2pt] (-0.5,2.75) circle[radius=2pt] (0.5,2.75) circle[radius=2pt] (1.5,2.75) circle[radius=2pt] ({-1.5-0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({-1.5+0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({-0.5-0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({-0.5+0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({0.5-0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({0.5+0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({1.5-0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({1.5+0.375},3.5) circle[radius=2pt] ; \end{scope} \draw[blue!75!black,very thick] (-2.5,0) -- (12.5,0) ; \draw (0,0) node[below,text width=3cm,align=center] {\vphantom{(qÉ)}au moment\\de la plantation\\(année 0)} ; \draw (4.25,0) node[below,text width=3cm,align=center] {\vphantom{(qÉ)}un an après\\la plantation\\(année 1)} ; \draw (9.25,0) node[below,text width=3cm,align=center] {\vphantom{(qÉ)}deux ans après\\la plantation\\(année 2)} ; \end{tikzpicture} \end{Centrage} Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le nombre de nouvelles branches $n$ années après la plantation. À la plantation, l'arbre possède 2 branches, ainsi on pose $v_0 = 2$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la suite $\suiten[v]$ ? Justifier. \item \begin{enumerate} \item Un an après la plantation, l'arbre a produit 4 nouvelles branches. Il possède alors un nombre total de branches égal à 6. Montrer que, trois ans après sa plantation, l'arbre possède un nombre total de branches égal à 30. \item On donne le programme \textsf{Python} suivant : \begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{center} v = 2 total = 2 for i in range(10) : v = 2 * v total = total + v print(total) \end{CodePythonLstAlt}% \hfill\null \medskip La valeur affichée par ce programme est $4\,094$. Dans le contexte de l'exercice, que représente la valeur $4\,094$ affichée par ce programme ? \end{enumerate} \end{enumerate}