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%bac2026gt-spec-poly-septembre-sujet1-exo3.tex On injecte à un patient un médicament. Après l'injection, on mesure la concentration de ce médicament dans le sang, en grammes par litre (g/L), pendant $13$ heures. Cette concentration est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;13]$ par : \[ f(t) = (t^2+t+1)\e^{-t} \] où $t$ représente le nombre d'heures écoulées depuis l'injection. \begin{enumerate} \item Déterminer $f(0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout réel $t$ dans $[0;13]$, on a : $f'(t) = t(-t+1)\e^{-t}$. \item Étudier le signe de $t(-t+1)$ sur $[0;13]$. \item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0;13]$. \textit{Il n'est pas demandé de calculer les images.} \end{enumerate} \item On estime que le médicament n'est plus actif lorsque sa concentration est strictement inférieure à $0{,}1$~g/L. Il convient alors de faire une nouvelle injection du médicament. En utilisant le tableau de valeurs approchées ci-dessous, déterminer le nombre d'heures maximal $t_0$ ($t_0$ est un entier naturel) pendant lequel le médicament reste actif. \medskip \hfill% \begin{tblr}{hlines,vlines,width=\linewidth,colspec={Q[m,c]*{11}{X[m,c]}},cells={font=\small},column{1}={bg=lightgray!50}} $t$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ \\ $f(t)$ & $0{,}647$ & $0{,}385$ & $0{,}209$ & $0{,}107$ & $0{,}052$ & $0{,}025$ & $0{,}011$ & $0{,}005$ & $0{,}002$ & $0{,}001$ & $0$ \\ \end{tblr}% \hfill\null \end{enumerate}
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