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%bac2026gt-spec-poly-septembre-sujet1-exo4.tex Les activités d'une association sont financées grâce à des donateurs. On réalise une estimation du nombre de donateurs de la manière suivante. Chaque année, \begin{itemize} \item $80\,\%$ des donateurs de l'année précédente renouvellent leur don ; \item $300$ nouveaux donateurs effectuent un don. \end{itemize} En 2025, l'association comptait $1\,000$ donateurs. Pour tout entier naturel $n$, on modélise par $u_n$ le nombre de donateurs pour l'année $2025+n$. Ainsi, on a $u_0 = 1\,000$. \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de donateurs prévu en 2026. \item Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 300$. \end{enumerate} \item On donne $u_5 \approx 1336$. Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ? \item On considère la suite d'instructions \textsf{Python} ci-dessous : \begin{Centrage} \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center} u = 1000 i = 0 while u <= 1400 : u = 0.8*u + 300 i = i + 1 \end{CodePythonLstAlt} \end{Centrage} À la fin de l'exécution de ce script, la variable \texttt{i} contient la valeur $8$. Comment peut-on l'interpréter dans le cadre de l'exercice ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{wrapstuff}[r,rightsep=5mm] \begin{PostIt}[Rendu=tikzv2,Largeur=3.5cm,Attache=Non,Inclinaison=5] \textbf{\underline{Aide au calculs}} : \smallskip {\small ~~$\frac{1200}{0{,}8} = 1500$} {\small ~~$0{,}8 \times 1500 = 1200$} \end{PostIt}% \end{wrapstuff} On considère la suite $\suiten[v]$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = u_n - 1500$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\suiten[v]$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. \item \begin{enumerate} \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. \item En déduire, pour tout entier naturel $n$, que : $u_n = 1500 - 500 \times 0{,}8^n$. \end{enumerate} \end{enumerate}
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