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%bac2026gt-tech-poly-juin-sujet1-exo4 On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[-4;6]$ par% \[ f(x) = -0{,}5x^2 + x + 7{,}5 \] On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction $f$ et sa tangente au point d'abscisse $3$ qui passe par les points de coordonnées $(3;6)$, $(4;4)$ et $(6;0)$. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=0.9cm,y=0.6cm,Xmin=-4.5,Xmax=7,Xgrille=1,Xgrilles=0.5,Ymin=-4.5,Ymax=8.5,Ygrille=1,Ygrilles=0.5]<Theme=gris> \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-4,-3,...,6}{-4,-3,...,8} \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=-4,Fin=6]{-0.5*x^2+x+7.5} \TracerCourbe[Couleur=red,Debut=-1,Fin=6.5]{-2*x+12} \MarquerPts*[Couleur=black,Style=x,Taillex=2.5pt]{(3,6),(4,4),(6,0)} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-4;6]$, \[ f(x) = (0{,}5x + 1{,}5)(-x + 5). \] \textit{Les justifications demandées pour les trois questions suivantes peuvent se faire par des calculs ou par des lectures graphiques.} \item Déterminer le nombre dérivé de $f$ en $3$. \item Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation a.} : Les solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant 0$ sur $[-4;6]$ sont les nombres réels appartenant à l'intervalle $[-3;5]$. \item \textbf{Affirmation b.} : $f'(x)$ est positive sur l'intervalle $[1;4]$. \end{enumerate} \end{enumerate}
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