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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
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\forestset{
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aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
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\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
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\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
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}
\usetikzlibrary{hobby}
%--- Nouveaux packages pour la page de garde 2025 ---
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%--- Déclarations propres à ce sujet ---
\newcommand{\codesujet}{21-MATJ1JA1}
\def\listenumexos{1,2,3,A,B}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{5,5,5,5,5}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Suites},
{Géométrie dans l'espace},
{Probabilités / Dénombrement},
{Fonctions / Convexité},
{Fonctions exponentielles / Équations différentielles}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
%--- Commande de mise en page (version 2021 : 3 communs + A/B au choix) ---
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,3}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=3\relax\else\\\\\fi%
}%
\tcblower
\foreach \i in {4,...,5}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\ifnum\i=4\relax A\else B\fi} (5 points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=5\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1.5cm]{memo}}}%
\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.625\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1.5cm]{memo}} ;}]
L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire \guillemotleft~type collège~\guillemotright{} est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\hypertarget{sommaire}{}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{asie}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.5cm}
\sujetbaclabelexos{5}
\pagebreak
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1c
\medskip
En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte \num{1000}~abonnés à son profil. On modélise le nombre d'abonnés ainsi: chaque année, elle perd 10\,\%de ses abonnés auxquels s'ajoutent $250$ nouveaux abonnés.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'abonnés à son profil en l'année $(2020 + n)$, suivant cette modélisation. Ainsi $u_0 = \num{1000}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n,$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 250$.
\item La fonction \textsf{Python} nommée \og suite \fg{} est définie ci-dessous. Dans le contexte de l'exercice, interpréter la valeur renvoyée par \texttt{suite(10)}.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center}
def suite(n) :
u = 1000
for i in range(n) :
u = 0,9*u + 250
return u
\end{CodePythonLstAlt}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant \num{2500}$.
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\end{enumerate}
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_n = u_n - \num{2500}$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et de terme initial $v_0 = \num{- 1500}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que : \[u_n = - \num{1500} \times 0,9^n + \num{2500}.\]
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d'abonnés dépassera \num{2200}.
Déterminer cette année.
\end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2c
\medskip
On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête 8~cm et de centre $\Omega$.
\smallskip
Les points $P$, $Q$ et $R$ sont définis par $\vect{{AP}} = \dfrac{3}{4}\vect{{AB}}$ ; $\vect{{AQ}} = \dfrac{3}{4}\vect{{AE}}$ et $\vect{{FR}} = \dfrac{1}{4}\vect{{FG}}$.
\smallskip
On se place dans le repère orthonormé $\left({A};\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)$ avec : $\vect{\imath} = \dfrac{1}{8}\vect{{AB}}$ ; $\vect{\jmath}= \dfrac{1}{8}\vect{{AD}}$ et $\vect{k} = \dfrac{1}{8}\vect{{AE}}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.85cm,y=0.85cm,line width=1pt,line join=bevel,>=latex]
%arêtes
\draw (0,1.7)--(6.5,0)--(6.5,7.2)--(0,8.9)--cycle ; %BCGF
\draw (6.5,0)--(10,2.6)--(10,9.8)--(6.5,7.2)--cycle ; %CDHG
\draw (10,9.8)--(3.5,11.5)--(0,8.9) ; %HEF
\draw[dashed] (0,1.7)--(3.5,4.3)--(3.5,11.5) ; %BAE
\draw[dashed] (3.5,4.3)--(10,2.6) ; %AD
\draw[dashed] (3.5,4.3)--(6.5,7.2) ; %AG
\draw[dashed] (3.5,11.5)--(6.5,0) ; %EC
%vecteurs
\draw[->,line width=1.25pt] (3.5,4.3)--(3.0625,3.975) ;
\draw[->,line width=1.25pt] (3.5,4.3)--(4.3125,4.0875) ;
\draw[->,line width=1.25pt] (3.5,4.3)--(3.5,5.2) ;
%labels simples
\foreach \Point/\Nom/\Pos in {(0,1.7)/B/below,(6.5,0)/C/below,(6.5,7.2)/G/above,(0,8.9)/F/above,(10,2.6)/D/right,(10,9.8)/H/above,(3.5,11.5)/E/above,(3.5,4.3)/A/below}
\draw \Point node[\Pos] {\Nom} ;
%labels "dot"
\foreach \Point/\Nom/\Pos in {(5,5.73)/$\Omega$/right,(0.88,2.35)/P/above,(3.5,9.7)/Q/left,(1.625,8.475)/R/above}
\filldraw \Point circle[radius=2pt] node[\Pos] {\Nom} ;
%labels vecteurs
\foreach \Vecteur/\Nom/\Pos in {(3.0625,3.975)/$\vect{\imath}$/above,(4.3125,4.0875)/$\vect{\jmath}$/above,(3.5,5.2)/$\vect{k}$/left}
\draw \Vecteur node[\Pos] {\Nom} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\textbf{Partie I}
\begin{enumerate}
\item Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point $R$ sont $(8;2;8)$.
Donner les coordonnées des points $P$ et $Q$.
\item Montrer que le vecteur $\vect{n}(1;-5;1)$ est un vecteur normal au plan $(PQR)$.
\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est $x - 5y + z - 6 = 0$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie II}
\medskip
On note $L$ le projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(PQR)$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que les coordonnées du point $\Omega$ sont $(4;4;4)$.
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ perpendiculaire au plan $(PQR)$ et passant par $\Omega$.
\item Montrer que les coordonnées du point $L$ sont $\left(\dfrac{14}{3}; \dfrac{2}{3};\dfrac{14}{3}\right)$
\item Calculer la distance du point $\Omega$ au plan $(PQR)$.
\end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3c
\medskip
Un sac contient les huit lettres suivantes: A B C D E F G H (2 voyelles et 6 consonnes).
Un jeu consiste à tirer simultanément au hasard deux lettres dans ce sac.
On gagne si le tirage est constitué d'une voyelle \textbf{et} d'une consonne.
\begin{enumerate}
\item Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de tirages possibles.
\item Déterminer la probabilité que le joueur gagne à ce jeu.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Les questions 2. et 3. de cet exercice sont indépendantes.
Pour la suite de l'exercice, on admet que la probabilité que le joueur gagne est égale à $\dfrac{3}{7}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Pour jouer, le joueur doit payer $k$ euros, $k$ désignant un entier naturel non nul.
Si le joueur gagne, il remporte la somme de $10$ euros, sinon il ne remporte rien.
On note $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d'un joueur (c'est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme payée).
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $G$.
\item Quelle doit être la valeur maximale de la somme payée au départ pour que le jeu reste
favorable au joueur ?
\end{enumerate}
\item Dix joueurs font chacun une partie. Les lettres tirées sont remises dans le sac après chaque partie.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de joueurs gagnants.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'il y ait exactement quatre joueurs gagnants.
\item Calculer $P(X \geqslant 5)$ en arrondissant à $10^{-3}$. Donner une interprétation du résultat obtenu.
\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0,9$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textcolor{orange!70!black}{\rule{0.35\linewidth}{0.6pt}\quad\large\bfseries\cabin Exercice au choix\quad\rule{0.35\linewidth}{0.6pt}}
\end{center}
\medskip
\textit{Le candidat doit traiter \textbf{un seul des deux exercices} A ou B. \\ Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.\\ Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.}
\medskip
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice A\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4a
\medskip
\begin{tblr}{width=13cm,colspec={X[l]},vlines}
\hline
\textbf{Principaux domaines abordés :} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Convexité} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Fonction ln} \\
\hline
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{Partie I : lectures graphiques}
\medskip
$f$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\R$.
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=3cm,xmin=-7,xmax=7,ymin=-0.8,ymax=1.2,xgrille=1,ygrille=0.2]
\GrilleTikz[Affs=false]
\AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
\AxexTikz[Police=\small]{-7,-6,...,6} \AxeyTikz[Police=\small]{1}
\draw[line width=1.25pt,red,domain=\xmin:\xmax,samples=2000] plot (\x,{(2*\x+1)/(\x*\x+\x+2.5)});
\draw (0,1) node[above,red] {Courbe de la fonction dérivée $f'$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\emph{Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $O$.
\item
\begin{enumerate}
\item Donner les variations de la fonction dérivée $f'$.
\item En déduire un intervalle sur lequel $f$ est convexe.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie II : étude de fonction}
\medskip
La fonction $f$ est définie sur $\R$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right).\]
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Déterminer une expression $f'(x)$ de la fonction dérivée de $f$ pour tout $x \in \R$.
\item En déduire le tableau des variations de $f$. On veillera à placer les limites dans ce tableau.
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'équation $f(x) = 2$ a une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2};+ \infty\right[$.
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}
\item La fonction $f'$ est dérivable sur $\R$. On admet que, pour tout $x \in \R$, $f''(x) = \dfrac{-2x^2 - 2x + 4}{\left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right)^2}$.
Déterminer le nombre de points d'inflexion de la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{exon5}{}\section*{Exercice B\dotfill{}(\nbptsexo[5] points)} %exo4b
\medskip
\begin{tblr}{width=13cm,colspec={X[l]},vlines}
\hline
\textbf{Principaux domaines abordés :} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Étude de fonction, fonction exponentielle} \\
\hspace{1cm}$\bullet~~$\textbf{Équations différentielles} \\
\hline
\end{tblr}
\bigskip
\textbf{Partie I}
\medskip
Considérons l'équation différentielle \[y'= -0,4y + 0,4\] %
où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0; + \infty[$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle.
\item En déduire l'ensemble des solutions de cette équation différentielle.
\item Déterminer la fonction $g$, solution de cette équation différentielle, qui vérifie $g(0) = 10$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie II}
\medskip
Soit $p$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0;+ \infty[$ par \[p(t) = \dfrac{1}{g(t)} = \dfrac{1}{1 + 9\e^{-0,4t}}.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $p$ en $+ \infty$.
\item Montrer que $p'(t) = \dfrac{3,6\e^{-0,4t}}{ \left(1 + 9\e^{-0,4t}\right)^2}$ pour tout $t \in [0;+ \infty[$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $p(t) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;+ \infty[$.
\item Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près à l'aide d'une calculatrice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie III}
\begin{enumerate}
\item $p$ désigne la fonction de la partie II.
Vérifier que $p$ est solution de l'équation différentielle $y' = 0,4y(1 - y)$ avec la condition initiale \mbox{$y(0) = \dfrac{1}{10}$} où $y$ désigne une fonction définie et dérivable sur $[0; + \infty[$.
\item Dans un pays en voie de développement, en l'année 2020, 10\,\% des écoles ont accès à internet.
Une politique volontariste d'équipement est mise en œuvre et on s'intéresse à l'évolution de la proportion des écoles ayant accès à internet.
On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, depuis l'année 2020.
La proportion des écoles ayant accès à internet à l'instant $t$ est modélisée par $p(t)$.
Interpréter dans ce contexte la limite de la question \textbf{II.}1. puis la valeur approchée de $\alpha$ de la question \textbf{II.}3.\pta{b} ainsi que la valeur $p(0)$.
\end{enumerate}
\end{document}