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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\title{\nomfichier}
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%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
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fleche/.style = {edge={thick}},
aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
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}
\usepackage{pas-tableur}
%--- Nouveaux packages pour la page de garde 2025 ---
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%--- Déclarations propres à ce sujet ---
\newcommand{\codesujet}{22-MATJ2LI1}
\def\listenumexos{1,2,3,4}
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\def\repartpts{7,7,7,7}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
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{Probabilités},
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\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\begin{tcolorbox}[width=\linewidth,colframe=orange!70!black,colback=orange!5,fontupper=\scriptsize\cabin,size=small]
Le candidat choisit \textbf{3 exercices parmi les 4} et ne doit traiter que ces 3 exercices.\\
Chaque exercice est noté sur \textbf{7 points} \textit{(le total sera ramené sur 20 points)}.
\end{tcolorbox}%
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1.5cm]{memo}}}%
\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.625\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1.5cm]{memo}} ;}]
L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire \guillemotleft~type collège~\guillemotright{} est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\hypertarget{sommaire}{}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{liban}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.5cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1
\medskip
\textit{Les résultats seront arrondis si besoin à $10^{-4}$ près.}
\medskip
Une étude statistique réalisée dans une entreprise fournit les informations suivantes :
\begin{itemize}
\item 48\,\% des salariés sont des femmes. Parmi elles, $16,5$\,\% exercent une profession de cadre ;
\item 52\,\% des salariés sont des hommes. Parmi eux, $21,5$\,\% exercent une profession de cadre.
\end{itemize}
On choisit une personne au hasard parmi les salariés.
On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item F : « la personne choisie est une femme »;
\item C : « la personne choisie exerce une profession de cadre ».
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à $0,191$.
\item Les événements F et C sont-ils indépendants ? Justifier.
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité de $F$ sachant $C$, notée $P_C(F)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item On choisit au hasard un échantillon de 15 salariés. Le grand nombre de salariés dans l'entreprise permet d'assimiler ce choix à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de cadres au sein de l'échantillon de 15 salariés.
On rappelle que la probabilité qu'un salarié choisi au hasard soit un cadre est égale à $0,191$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que l'échantillon contienne au plus 1 cadre.
\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$.
\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel.
On considère dans cette question un échantillon de $n$ salariés.
Quelle doit être la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu'il y ait au moins un cadre au sein de l'échantillon soit supérieure ou égale à $0,99$ ?
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2
\medskip
On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté 1 représenté ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line join=bevel]
\PaveTikz[Cube,Largeur=6,Aff]
\end{tikzpicture}
\end{center}
On munit l'espace du repère orthonormé $\left( A;\vect{AB};\vect{AC};\vect{AE} \right)$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites $(AH)$ et $(ED)$ sont perpendiculaires.
\item Justifier que la droite $(GH)$ est orthogonale au plan $(EDH)$.
\item En déduire que la droite $(ED)$ est orthogonale au plan $(AGH)$.
\end{enumerate}
\item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{ED}$.
Déduire de la question 1.(c) qu'une équation cartésienne du plan $(AGH)$ est :\[y-z=0.\]
\item On désigne par $L$ le point de coordonnées $\left(-\frac23;1;0)\right)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EL)$.
\item Déterminer l'intersection de la droite $(EL)$ et du plan $(AGH)$.
\item Démontrer que le projeté orthogonal de $L$ sur le plan $(AGH)$ est le point $K$ de coordonnées \mbox{$\left(\frac23;\frac12;\frac12\right)$}.
\item Montrer que la distance du point $L$ au plan $(AGH)$ est égale à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\item Déterminer le volume du tétraèdre $LAGH$.
On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule : \[ \mathcal{V}=\dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}. \]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3
\medskip
\textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^{1000}+x$.
On peut affirmer que :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]}}
(a)~~la fonction $g$ est concave sur $\R$.\\
(b)~~la fonction $g$ est convexe sur $\R$.\\
(c)~~la fonction $g$ possède exactement un point d'inflexion.\\
(d)~~la fonction $g$ possède exactement deux points d'inflexion.
\end{tblr}
%
\item On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f'$ sa fonction dérivée.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$.
On note $\Gamma$ la courbe représentative de $f'$.
On a tracé ci-dessous la courbe $\Gamma$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,xmin=-1.75,xmax=3.25,xgrille=1,xgrilles=0.5,ymin=-1.75,ymax=1.5,ygrille=1,ygrilles=0.5]
\GrilleTikz \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
\AxexTikz{-1,1,2,3} \AxeyTikz{-1,1}
\draw (0,0) node[below left=2pt] {0} ;
\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
\draw[very thick,blue,domain=\xmin:\xmax,samples=500] plot (\x,{(\x+1)*exp(-\x)}) ;
\draw[blue] (1.75,0.75) node[font=\large] {$\Gamma$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
On note $T$ la tangente à la \textbf{courbe} $\bm{\mathcal{C}}$ au point d'abscisse $0$.
On peut affirmer que la tangente $T$ est parallèle à la droite d'équation :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~$y=x$&(b)~~$y=0$\\
(c)~~$y=1$&(d)~~$x=0$
\end{tblr}
%
\item On considère la suite $\suiten$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$.
On peut affirmer que la suite $\suiten$ est :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~majorée et non minorée.&(b)~~minorée et non majorée.\\
(c)~~bornée.&(d)~~non majorée et non minorée.
\end{tblr}
%
\item Soit $k$ un nombre réel non nul.
Soit $\suiten[v]$ une suite définie pour tout entier naturel $n$.
On suppose que $v_0=k$ et que pour tout $n$, on a $v_n \times v_{n+1} < 0$.
On peut affirmer que $v_{10}$ est :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~positif.&(b)~~négatif.\\
(c)~~du signe de $k$.&(d)~~du signe de $-k$.
\end{tblr}
%
\item On considère la suite $\suiten[w]$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ w_{n+1}=2w_n-4 \text{ et } w_2=8. \]%
On peut affirmer que :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~$w_0=0$.&(b)~~$w_0=5$.\\
(c)~~$w_0=10$.&(d)~~Il n'est pas possible de calculer $w_0$.
\end{tblr}
%
\item On considère la suite $\suiten[a]$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ a_{n+1}=\dfrac{\e^n}{\e^n+1}a_n \text{ et } a_0=1. \]%
On peut affirmer que :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~la suite $\suiten[a]$ est strictement croissante.&(b)~~la suite $\suiten[a]$ est strictement décroissante.\\
(c)~~la suite $\suiten[a]$ n'est pas monotone.&(d)~~la suite $\suiten[a]$ est constante.
\end{tblr}
%
\item Une cellule se reproduit en se divisant en deux cellules identiques, qui se divisent à leur tour, et ainsi de suite. On appelle temps de génération le temps nécessaire pour qu'une cellule donnée se divise en deux cellules. On a mis en culture 1 cellule. Au bout de 4 heures, il y a environ 4\,000 cellules.
On peut affirmer que le temps de génération est environ égal à :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~moins d'une minute.&(b)~~12 minutes.\\
(c)~~20 minutes.&(d)~~1 heure.
\end{tblr}
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4
\textbf{\large Partie A}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $\intervOF{0}{1}$ par : \[ f(x)=\e^{-x} + \ln(x). \]
%
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $0$.
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\intervOF{0}{1}$. On note $f'$ sa fonction dérivée.
Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $\intervOF{0}{1}$, on a : \[ f'(x)=\dfrac{1-x\,\e^{-x}}{x}. \]
\item Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $\intervOF{0}{1}$, on a $x\,\e^{-x}<1$.
En déduire le tableau de variation de $f$ sur $\intervOF{0}{1}$.
\item Démontrer qu'il existe un unique réel $\ell$ appartenant à $\intervOF{0}{1}$ tel que $f\big(\ell\big) = \ell$.
\end{enumerate}
\textbf{\large Partie B}
%
\begin{enumerate}
\item On définit deux suites $\suiten[a]$ et $\suiten[b]$ par : \[ \begin{dcases} a_0=\tfrac{1}{10} \\ b_0 = 1 \end{dcases} \text{ et, pour tout entier naturel }n \text{, } \begin{dcases} a_{n+1}=\e^{-b_n} \\ b_{n+1}=\e^{-a_n} \end{dcases}. \]
\begin{enumerate}
\item Calculer $a_1$ et $b_1$. On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.
\item On considère ci-dessous la fonction \texttt{termes}, écrite en langage \textsf{Python}.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center}
def termes(n) :
a = 1/10
b = 1
for k in range(0, n) :
c = ...
b = ...
a = c
return(a,b)
\end{CodePythonLstAlt}
\end{enumerate}
\item Recopier et compléter sans justifier le cadre ci-dessus de telle sorte que la fonction \texttt{termes} calcule les termes des suites $\suiten[a]$ et $\suiten[b]$.
\item On rappelle que la fonction $x \mapsto e^{-x}$ est décroissante sur $\R$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[ 0 < a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1. \]%
\item En déduire que les suites $\suiten[a]$ et $\suiten[b]$ sont convergentes.
\end{enumerate}
\item On note $A$ la limite de $\suiten[a]$ et $B$ la limite de $\suiten[b]$.
On admet que A et B appartiennent à l'intervalle $\intervOF{0}{1}$,et que $A=\e^{-B}$ et $B=\e^{-A}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f(A) =0$.
\item Déterminer $A - B$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}