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%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vec{\vphantom{k}\imath},\vec{\vphantom{k}\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vec{\vphantom{k}\imath},\vec{\vphantom{k}\jmath},\vec{\vphantom{k}k}\right)}
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\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
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\usetikzlibrary{hobby}
%--- Nouveaux packages pour la page de garde 2025 ---
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%--- Déclarations propres à ce sujet ---
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\def\repartthemes{%
{Fonctions / Étude de fonctions},
{Probabilités / Loi binomiale},
{Géométrie dans l'espace},
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%--- Commandes de mise en page ---
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
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\vspace*{0.5cm}
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L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\hypertarget{sommaire}{}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{amsud}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1
\medskip
\textbf{Partie A}
On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\intervOO{0}{+\infty}$ par \[ f(x)=1+x^2+2x^2\,\ln(x). \]
On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle et on note $f'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=1$ et, en remarquant que $f(x) = 1 + x^2 \big(1-2\ln(x)\big)$, justifier que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, $f'(x) = -4x \,\ln(x)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, puis dresser le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
\item Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle
$\intervFO{1}{+\infty}$ et que $\alpha \in \intervFF{1}{\e}$.
\end{enumerate}
%
On admet dans la suite de l’exercice, que l’équation $f (x) = 0$ n’admet pas de solution sur
l’intervalle $\intervOF{0}{1}$.
%
\begin{enumerate}[resume]
\item On donne la fonction ci-dessous écrit en \textsf{Python}. L’instruction \texttt{from lycee import *} permet d’accéder à la fonction ln.
%
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{center}
from lycee import *
def f(x) :
return 1+x**2-2*x**2*ln(x)
def dichotomie(p) :
a = 1
b = 2.7
while b-a > 10**(-p) :
if f(a) * f((a+b)/2) < 0 :
b = (a+b)/2
else :
a = (a+b)/2
return (a, b)
\end{CodePythonLstAlt}
%
Il écrit dans la console d’exécution :
\texttt{>{}>{}>{} dichotomie(1)}
\smallskip
Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l’instruction précédente? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination)
\hspace*{4cm}Proposition A : \texttt{(1.75, 1.9031250000000002)}\\
\hspace*{4cm}Proposition B : \texttt{(1.85, 1.9031250000000002)}\\
\hspace*{4cm}Proposition C : \texttt{(2.75, 2.9031250000000002)}\\
\hspace*{4cm}Proposition D : \texttt{(2.85, 2.9031250000000002)}
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B}
\medskip
On considère la fonction $g$, définie sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, par \[ g(x)=\frac{\ln(x)}{1+x^2}. \]
On admet que g est dérivable sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.
On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $\Rij$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, $g'(x) = \dfrac{f(x)}{x\big(1+x^2\big)^2}$.
\item Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x = \alpha$.
On admet que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha^2}$.
\item On note $T_1$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse 1 et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $\alpha$.
Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d’intersection des droites $T_1$
et $T_{\alpha}$
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2
\smallskip
\begin{enumerate}
\item Entre 1998 et 2020, en France \num{18221965} accouchements ont été recensés, parmi lesquels \num{293898} ont donné naissance à des jumeaux et \num{4921} ont donné naissance à au
moins trois enfants.
\begin{enumerate}
\item Avec une précision de \num{0,1}\,\% calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d’accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998--2020.
\item Vérifier que le pourcentage d’accouchements qui ont donné naissance à au moins
trois enfants est inférieur à \num{0,1}\,\%.
\smallskip
On considère alors que ce pourcentage est négligeable.
\smallskip
On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.
\smallskip
On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.
\smallskip
On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.
\smallskip
La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à \num{0,984} et celle d’un accouchement double est alors égale à \num{0,016}.
\smallskip
Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.
\end{enumerate}
\item On admet qu’un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.
On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’accouchements doubles pratiqués ce jour.
\begin{enumerate}
\item Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double.
\item Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X \geqslant 1) \geqslant 0,99$.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}
\item Dans cette maternité, parmi les naissances double, on estime qu’il y a 30\,\% de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70\,\% de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents : deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).
\smallskip
Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d’être une fille à la naissance est égale à \num{0,49} et que celle d’être un garçon à la naissance est égale à \num{0,51}.
Dans le cas d’une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.
\smallskip
On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $M$ : « les jumeaux sont monozygotes » ;
\item $F_1$ : « le premier nouveau-né est une fille » ;
\item $F_2$ : « le second nouveau-né est une fille ».
\end{itemize}
\emph{On notera $P(A)$ la probabilité de l’évènement $A$ et $\overline{A}$ l’évènement contraire de $A$.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\def\EspIF{1}\def\EspIN{2.25}
\coordinate (RAC) at ({0*\EspIN},{-2*\EspIF}) ;
%niveauC
\node (C1) at ({3*\EspIN},{-0*\EspIF}) {$F_2$} ;
\node (C2) at ({3*\EspIN},{-1*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ;
\node (C3) at ({3*\EspIN},{-2*\EspIF}) {$F_2$} ;
\node (C4) at ({3*\EspIN},{-3*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ;
\node (C5) at ({3*\EspIN},{-4*\EspIF}) {$F_2$} ;
\node (C6) at ({3*\EspIN},{-5*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ;
%niveauB
\node (B1) at ({2*\EspIN},{-0*\EspIF}) {$F_1$} ;
\node (B2) at ({2*\EspIN},{-1*\EspIF}) {$\overline{F_1}$} ;
\node (B3) at ({2*\EspIN},{-2.5*\EspIF}) {$F_2$} ;
\node (B4) at ({2*\EspIN},{-4.5*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ;
%niveauA
\node (A1) at ({1*\EspIN},{-0.5*\EspIF}) {$M$} ;
\node (A2) at ({1*\EspIN},{-3.5*\EspIF}) {$\overline{M}$} ;
%arêtes
\draw[semithick] (RAC)--(A1) (RAC)--(A2) (A1)--(B1) (A1)--(B2) (A2)--(B3) (A2)--(B4) (B1)--(C1) (B2)--(C2) (B3)--(C3) (B3)--(C4) (B4)--(C5) (B4)--(C6) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Recopier puis compléter l’arbre pondéré ci-dessus.
\item Montrer que la probabilité que les deux nouveaux-nés soient des filles est \num{0,31507}.
\item Les deux nouveaux-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu’elles soient monozygotes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3
\medskip
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Rijk$, on considère les points :
\smallskip
\hfill$A(0;4;16)$, \: $B(0;4;-10)$, \: $C(4;-8;0)$ \: et \: $K(0;4;3)$.\hfill~
\smallskip
On définit la sphère $\mathcal{S}$ de centre $K$ et de rayon 13 comme l’ensemble des points $M$ tels que $KM = 13$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le point $C$ appartient à la sphère $\mathcal{S}$.
\item Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que le vecteur $\vect{n} \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
\end{enumerate}
\item On admet que la sphère $\mathcal{S}$ coupe l’axe des abscisses en deux points, l’un ayant une abscisse positive et l’autre une abscisse négative.
On note $D$ celui qui a une abscisse positive.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le point $D$ a pour coordonnées $(12; 0; 0)$.
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
\item Déterminer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
\end{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée, à l’unité de volume près, du volume du tétraèdre $ABCD$.
\emph{On rappelle la formule du volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre \[ \mathcal{V}=\dfrac13 \times \mathcal{B} \times h \] où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée.}
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Le but de la partie A est d’étudier le comportement de la suite $\suiten$ définie par $u_0 = 0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : \[ u_{n+1} = 2u_n \big(1-u_n\big). \]
Cette relation de récurrence s’écrit $u_{n+1} = f\big(u_n\big)$, où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x)=2x(1-x). \]
%
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\intervFF{0}{\dfrac12}$.
\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac12$.
Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout rentier naturel $n$, $u_n \leqslant u_{n+1}$.
\item En déduire que la suite $\suiten$ est convergente.
\item Justifier que la limite de la suite $\suiten$ est égale à $\dfrac12$.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Le but de cette partie est d’étudier un modèle d’évolution d’une population.
En 2022, cette population compte \num{3000} individus.
\smallskip
On note $P_n$ l’effectif en milliers de la population l’année $2022+n$. Ainsi $P_0 = 3$.
Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du XIX\up{e} siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :%
\[ P_{n+1} -P_n = P_n \big(1-b\times P_n\big)\text{, où } b \text{est un réel strictement positif.} \]
Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.
\begin{enumerate}
\item Dans cette question $b = 0$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\suiten[P]$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
\item Déterminer la limite de $\suiten[P]$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question $b = 0,2$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = 0,1 \times P_n$.
Calculer $v_0$ et montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2v_n\big(1-v_n\big)$.
\item Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d’une valeur que l’on précisera.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}