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\title{\nomfichier}
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\forestset{
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bproba/.style = {edge label = {node[inner sep=1pt,below=5pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
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%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vec{\vphantom{k}\imath},\vec{\vphantom{k}\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vec{\vphantom{k}\imath},\vec{\vphantom{k}\jmath},\vec{\vphantom{k}k}\right)}
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\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
}
\newcommand\qcm[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
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\usetikzlibrary{hobby}
%--- Nouveaux packages pour la page de garde 2025 ---
\usepackage{cabin}
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%--- Déclarations propres à ce sujet ---
\newcommand{\codesujet}{23-MATJ1ME3}
\def\listenumexos{1,2,3,4}
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\def\repartpts{5,5,5,5}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Vrai\&{}Faux (QCM)},
{Géométrie dans l'espace},
{Probabilités / Variables aléatoires},
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%--- Commandes de mise en page ---
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
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\vspace*{0.5cm}
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L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\hypertarget{sommaire}{}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{fr.v2}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.\\Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\Aucune justification n’est demandée.}
\bigskip
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x)=x\e^{x^2-3}. \]
Une des primitives $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
\textbf{a.}~~$F(x)=2x\e^{x^2-3}$ & \textbf{b.}~~$F(x)=\big(2x^2+1\big)\e^{x^2-3}$ \\
\textbf{c.}~~$F(x)=\frac12 x\e^{x^2-3}$ & \textbf{d.}~~$F(x)=\frac12 \e^{x^2-3}$
\end{tblr}
\item On considère la suite $\suiten$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ u_n = \e^{2n+1}. \]
La suite $\suiten$ est :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
\textbf{a.}~~arithmétique de raison 2 & \textbf{b.}~~géométrique de raison $\e$ \\
\textbf{c.}~~géométrique de raison $\e^2$ & \textbf{d.}~~convergente vers $\e$
\end{tblr}
\end{enumerate}
Pour les questions \textbf{3.} et \textbf{4.}, on considère la suite $\suiten$ définie sur $\N$ par : \[ u_0=15 \text{ et, pour tout entier naturel }n \text{ : } u_{n+1}=1,2u_n+12. \]
\begin{enumerate}[resume]
\item La fonction \textsf{Python} suivante, dont la ligne \textsf{4} est incomplète, doit renvoyer la plus petite valeur de l’entier $n$ telle que$u_n > \num{10000}$.
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=7cm]{center}
def seuil() :
n = 0
u = 15
while ........:
n = n+1
u = 1.2∗u + 12
return(n)
\end{CodePythonLstAlt}
À la ligne \textsf{4}, on complète par :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
\textbf{a.}~~\texttt{u <= 10000} & \textbf{b.}~~\texttt{u = 10000} & \textbf{c.}~~\texttt{u > 10000} & \textbf{d.}~~\texttt{n <= 10000}
\end{tblr}
\item On considère la suite $\suiten[v]$ définie sur $\N$ par : $v_n = u_n +60$.
La suite $\suiten[v]$ est :
\medskip
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
\textbf{a.}~~une suite décroissante & \textbf{b.}~~une suite géométrique de raison $1,2$ \\ \textbf{c.}~~une suite arithmétique de raison 60 & \textbf{d.}~~une suite ni géométrique ni arithmétique
\end{tblr}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2
\medskip
L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$.
On considère les points :
\hfill$A(1;0;-1)$, $B(3;-1;2)$, $C(2;-2;-1)$ et $D(4;-1;-2)$.\hfill~
\smallskip
On note $\Delta$ la droite de représentation paramétrique : \[ \begin{dcases} x = 0 \\ y = 2+t \\ z = -1+t \end{dcases} \text{, avec } t \in \R. \]
%
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l’on notera $\mathcal{P}$.
\item Montrer que la droite $(CD)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
Sur le plan $\mathcal{P}$, que représente le point $C$ par rapport à $D$ ?
\item Montrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $2x+y-z-3 = 0$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la distance $CD$.
\item Existe-t-il un point $M$ du plan $\mathcal{P}$ différent de $C$ vérifiant $MD = \sqrt{6}$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
\item Soit $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $\Delta$.
Montrer que $H$ est le point de $\Delta$ associé à la valeur $t = -2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ donnée ci-dessus.
\item En déduire la distance du point $D$ à la droite $\Delta$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3
\medskip
\textit{Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.}
\textit{Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.}
\smallskip
Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.
Dans une population, ce test donne les résultats suivants :
\begin{itemize}
\item si un individu est allergique, le test est positif dans 97\,\% des cas ;
\item Si un individu n’est pas allergique, le test est négatif dans $95,7$\,\% des cas.
\end{itemize}
Par ailleurs, 20\,\% des individus de la population concernée présentent un test positif.
\smallskip
On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :
\begin{itemize}
\item $A$ l’évènement « l’individu est allergique » ;
\item $T$ l’évènement « l’individu présente un test positif ».
\end{itemize}
On notera $\overline{A}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires de $A$ et $T$.
On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l’évènement $A$ : $x = p(A)$.
\medskip
\textbf{Partie A}
\begin{wrapstuff}[r]
\ArbreProbasTikz[EspaceNiveau=2]{$A$/$x$/above,$T$/$\ldots$/above,$\overline{T}$/$\ldots$/below,
$\overline{A}$/$\ldots$/below,$T$/$\ldots$/above,$\overline{T}$/$\ldots$/below}
\end{wrapstuff}
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l’arbre ci-contre décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer l’égalité : $p(T) = 0,927x +0,043$.
\item En déduire la probabilité que l’individu choisi soit allergique.
\end{enumerate}
\item Justifier par un calcul l’affirmation suivante :
\og Si le test d’un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de 80\,\% de chances que cet individu soit allergique \fg.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant 150 habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.
On sait que la probabilité qu’un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à $0,08$.
On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de 150 habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ?
Préciser ses paramètres.
\item Déterminer la probabilité que 20 personnes exactement parmi les 150 interrogées soient allergiques.
\item Déterminer la probabilité qu’au moins 10\,\% des personnes parmi les 150 interrogées soient allergiques.
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4
\medskip
\textbf{PARTIE A}
\medskip
On définit sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ la fonction $g$ par : \[ g(x)=\frac2x - \frac{1}{x^2}+\ln(x) \text{ où } \ln \text{ désigne la fonction logarithme népérien. } \]
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty} = I$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme du second degré $\big(x^2-2x+2\big)$
\item En déduire que la fonction g est strictement croissante sur $\intervOO{0}{+\infty}$.
\item Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur l’intervalle $\intervFF{0,5}{1}$, que l’on notera $\alpha$.
\item On donne le tableau de signes de $g$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty} = I$ :
%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[double distance=4pt]
\tkzTabInit{$x$/1,$g(x)$/1}{$0$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
%
Justifier ce tableau de signes à l’aide des résultats obtenus aux questions précédentes.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{PARTIE B}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty} = I$ par : \[ f(x)=\e^x \ln(x). \]
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$, on note $f'$ sa fonction dérivée, $f''$ sa fonction dérivée seconde et on admet que, pour tout nombre réel $x > 0$ : \[ f'(x)=\e^x \left(\frac1x+\ln(x)\right). \]
%
Démontrer que, pour tout réel $x > 0$, on a : $f''(x) = \e^x \left(\frac2x-\frac{1}{x^2}+\ln(x)\right)$.
\smallskip
On pourra remarquer que pour tout réel $x > 0$, $f''(x) = \e^x \times g(x)$, où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie \textbf{A}.
\item
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. Justifier.
\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d’inflexion $A$.
\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. Justifier.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\item Montrer que $f'(\alpha) = \dfrac{\e^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)$.
On rappelle que $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $g(x) = 0$.
\item Démontrer que $f'(\alpha)>0$ et en déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$.
\item En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}