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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\session}{2023}
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\newcommand{\lieu}{Polynésie}
\newcommand{\jour}{13}
\newcommand{\mois}{Mars}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\title{\nomfichier}
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\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
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\setlength{\parindent}{0pt}
%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
%--- Nouveaux packages pour la page de garde 2025 ---
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%--- Déclarations propres à ce sujet ---
\newcommand{\codesujet}{23-MATJ1PO1}
\def\listenumexos{1,2,3,4}
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\def\repartpts{4,5,5,5}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Probabilités},
{Géométrie dans l'espace},
{Vrai\&{}Faux / Fonctions},
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%--- Commandes de mise en page ---
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
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L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\hypertarget{sommaire}{}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{poly}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)}
\medskip
\emph{Les parties \text{A} et \text{B} peuvent être traitées indépendamment}
\medskip
Les utilisateurs de vélo d'une ville sont classés en deux catégories disjointes:
\begin{itemize}
\item ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
\item ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.
\end{itemize}
Un sondage donne les résultats suivants:
\begin{itemize}
\item 21\,\% des utilisateurs ont moins de 35 ans.
Parmi eux, 68\,\% utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l'utilisent dans leurs déplacements professionnels ;
\item parmi les 35 ans ou plus, seuls 20\,\% utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l'utilisent uniquement pour leurs loisirs.
\end{itemize}
On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.
Dans tout l'exercice on considère les évènements suivants:
\begin{itemize}
\item $J$ : \og la personne interrogée a moins de 35 ans \fg{} ;
\item $T$ : \og la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels \fg{} ;
\item $\overline{J}$ et $\overline{T}$ sont les évènements contraires de $J$ et $T$.
\end{itemize}
\textbf{Partie A}
\smallskip
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de $35$~ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.
\emph{On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.}
\item Calculer la valeur exacte de la probabilité de $T$.
\item On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.
Démontrer que la probabilité qu'il ait moins de 35 ans est $0,30$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\medskip
Dans cette partie, on s'intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels.
\medskip
On admet que 30\,\% d'entre elles ont moins de $35$~ans.
On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de $120$~personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire.
On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.
\medskip
On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.
\medskip
X représente le nombre de personnes de l'échantillon ayant moins de $35$~ans.
\medskip
\emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
\item Calculer la probabilité qu'au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de $35$~ans.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)}
\medskip
L'espace est muni d'un repère orthonormée $\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$.
On considère :
\begin{itemize}
\item $d_1$ la droite passant par le point $H(2;3;0)$ et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ ;
\item $d_2$ la droite de représentation paramétrique : \[ \begin{dcases}x=2k-3\\y=k\\z=5\end{dcases} \: \text{ où } k \text{ décrit } \mathbb{R}.\]
\end{itemize}
Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d'une droite $\Delta$ qui soit perpendiculaire aux droites $d_1$ et $d_2$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer un vecteur directeur $\vect{v}$ de la droite $d_2$.
\item Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
\item Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas sécantes.
\item Quelle est la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ ?
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le vecteur $\vect{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}$ est orthogonal à $\vect{u}$ et à $\vect{v}$.
\item On considère le plan $P$ passant par le point $H$ et dirigé par les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{w}$.
On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est : \[5x + 4y - z - 22 = 0.\]
%
Démontrer que l'intersection du plan $P$ et de la droite $d_2$ est le point $M(3;3;5)$.
\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la droite de vecteur directeur $\vect{w}$ passant par le point $M$.
Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc donnée par : \[ \begin{dcases}x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\end{dcases} \: \text{ où } r \text{ décrit } \mathbb{R}.\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires en un point L dont on déterminera les coordonnées.
\item Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ est solution du problème posé.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)}
\medskip
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation :} La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^x - x$ est convexe.
\item \textbf{Affirmation :} L'équation $\left(2\text{e}^x - 6\right)\left(\text{e}^x + 2\right) = 0$ admet $\ln (3)$ comme unique solution dans $\mathbb{R}$.
\item \textbf{Affirmation :} \[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^x - x} = 0.\]
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (6x + 5)\text{e}^{3x}$ et soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$F(x) = (2x + 1)\text{e}^{3x} + 4$.
\textbf{Affirmation :} $F$ est la primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui prend la valeur 5 quand $x = 0$.
\item On considère la fonction \texttt{mystere} définie ci-dessous qui prend une liste \texttt{L} de nombres en paramètre.
On rappelle que \texttt{len(L)} représente la longueur de la liste \texttt{L}.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=10cm]{center}
def mystere(L) :
S = 0
for i in range(len(L))
S = S + L[i]
return S / len(L)
\end{CodePythonLstAlt}
\textbf{Affirmation :} L'exécution de \texttt{mystere([1,9,9,5,0,3,6,12,0,5])} renvoie \texttt{50}.
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)}
\medskip
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = - 1$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = 0,9u_n - 0,3.\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 2 \times 0,9^n - 3$.
\item En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $- 3 < u_n \leqslant - 1$.
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et préciser sa limite.
\end{enumerate}
\item On se propose d'étudier la fonction $g$ définie sur $]-3;-1]$ par : \[g(x) = \ln (0,5 x + 1,5) - x.\]
\begin{enumerate}
\item Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$).
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[double distance=3pt]
\tkzTabInit[lgt=4]{$x$/1,variations de $g$/2}{$-3$,$-2$,$-1$}
\tkzTabVar{D-/$-\infty$,+/$g(-2)$,-/$1$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item En déduire que l'équation $g(x) = 0$ a exactement une solution que l'on notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-3}$.
\end{enumerate}
\item Dans la suite de l'exercice, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $ \in \mathbb{N}$, par : \[v_n = \ln \left(0,5 u_n + 1,5\right).\]
\begin{enumerate}
\item En utilisant la formule donnée à la question \textbf{1.(a)}, démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $\ln (0,9)$.
\item Soit $n$ un entier naturel.
Démontrer que $u_n = v_n$ si, et seulement si $g\left(u_n\right) = 0$.
\item Démontrer qu'il n'existe aucun rang $k \in \mathbb{N}$ pour lequel $u_k = \alpha$.
\item En déduire qu'il n'existe aucun rang $k \in \mathbb{N}$ pour lequel $v_k = u_k$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}