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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\title{\nomfichier}
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\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} - Sujet \numsujet}}
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%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
%--- Nouveaux packages pour la page de garde 2025 ---
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%--- Déclarations propres à ce sujet ---
\newcommand{\codesujet}{23-MATJ2PO1}
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\def\repartpts{5,5,5,5}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Probabilités / Suites},
{Géométrie dans l'espace},
{Fonctions / Étude de fonctions},
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%--- Commandes de mise en page ---
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\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
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L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\hypertarget{sommaire}{}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{poly}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)}
\medskip
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que :
\begin{itemize}
\item si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans 90\,\% des cas le jour suivant ;
\item si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 70\,\% des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.
\end{itemize}
On note pour tout entier naturel $n$ :
\begin{itemize}
\item $R_n$ l'événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance »,
\item $p_n$ la probabilité de l'événement $R_n$. On considère que $p_0=0,6$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel, recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.
\begin{center}
\def\ArbreDeuxDeux{
$R_n$/$p_n$/above,$R_{n+1}$/$\ldots$/above,$\overline{R_{n+1}}$/$\ldots$/below,
$\overline{R_{n}}$/$1-p_n$/below,$R_{n+1}$/$\ldots$/above,$\overline{R_{n+1}}$/$\ldots$/below
}
\ArbreProbasTikz{\ArbreDeuxDeux}
\end{center}
\item Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a :\[ p_{n+1}=0,6p_n+0,3. \]
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = p_n - 0,75$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $p_n = 0,75 - 0,15 \times 0,6^n$.
\item En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
\item Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Après de nombreuses séances d'entraînement, l’entraineur estime maintenant que l’athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0,75$ et ce indépendamment d’avoir franchi ou non les haies précédentes.
\smallskip
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l’athlète à l’issue d’un 400 mètres haies qui comporte 10 haies.
\begin{enumerate}
\item Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
\item Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l’athlète franchisse les 10 haies.
\item Calculer $P(X \geqslant 9)$, à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)}
\medskip
L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O;\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k})$.
On considère :
\begin{itemize}
\item le point $A(1;-1;-1)$ ;
\item le plan $\mathcal{P}_1$ d’équation : $5x + 2y + 4z = 17$ ;
\item le plan $\mathcal{P}_2$ d’équation : $10x + 14y + 3z = 19$ ;
\item la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique : \[ \begin{dcases} x=1+2t \\ y=-t \\ z=3-2t \end{dcases} \text{ où } t \text{ décrit } \mathbb{R}. \]
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.
\item Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite d’intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{P}_1$.
\item Justifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\item Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\mathcal{D}$ de coordonnées $(1+2t;-t;3-2t)$.
On considère alors $f$ la fonction qui à tout réel $t$ associe $AM^2$, soit $f(t)=AM^2$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $t$, on a : $f(t)=9t^2-18t+17$.
\item Démontrer que la distance $AM$ est minimale lorsque $M$ a pour coordonnées $(3;-1;1)$.
\end{enumerate}
\item On note $H$ le point de coordonnées $(3;-1;1)$. Démontrer que la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)}
\medskip
\textit{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.}
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Le plan est ramené à un repère orthogonal. On a représenté ci-dessous la courbe d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, ainsi que celle de sa dérivée $f'$ et de sa dérivée seconde $f''$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1.8cm,y=0.9cm,xgrilles=1,ygrilles=1,xmin=0,ymin=-4,xmax=8,ymax=5]
\FenetreSimpleTikz(ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0){0,1,...,7}{-4,-3,...,4}
\draw[very thick,red] plot[smooth] coordinates {%
\xintthecoords\xintfloatexpr
seq((x,4/(1+exp(-3*x+12))),x=0..[0.1]..+8)
\relax
};
\draw[very thick,blue] plot[smooth] coordinates {%
\xintthecoords\xintfloatexpr
seq( ( x , (12*exp(12-3*x))/(1+exp(12-3*x))**2 ),x=0..[0.1]..+8)
\relax
};
\draw[very thick,CouleurVertForet] plot[smooth] coordinates {%
\xintthecoords\xintfloatexpr
seq( ( x , -(36*(exp(12+6*x)-exp(24+3*x)))/(exp(12) + exp(3*x))**3 ),x=0..[0.1]..+8)
\relax
};
\draw[CouleurVertForet] (4.35,-1.75) node[font=\Large] {$\mathcal{C}_1$} ;
\draw[blue] (4.75,1.65) node[font=\Large] {$\mathcal{C}_3$} ;
\draw[red] (4.75,4.15) node[font=\Large] {$\mathcal{C}_2$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
\item Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point d’abscisse $4$.
\item Donner, avec la précision permise par le graphique, l’abscisse de chaque point
d’inflexion de la courbe $\mathcal{C}_1$.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Soit un réel $k$ strictement positif. On considère la fonction $g$ définie sur R par : \[ g(x)= \dfrac{4}{1+\text{e}^{-x}}. \]
%
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Prouver que $g'(0)=k$.
\item En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de $g$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse 0.
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
%ENTETE
\draw[semithick,fill=lightgray!50] (0,0) rectangle (10,-0.85) ;
\draw (0,-0.425) node[right=4pt,font=\Large\sffamily] {$\blacktriangleright$ Calcul formel} ;
\draw[semithick,darkgray] ({9.25},{-0.1}) rectangle++(0.65,-0.65) ;
\draw[thick,darkgray] (9.35,-0.2)--++(0.45,-0.45) (9.35,-0.65)--++(0.45,0.45) ;
%LIGNE1
\draw[semithick,fill=cyan!25] (0,-0.85) rectangle (1,-3.85) node[midway,font=\LARGE\sffamily] {1} ;
\draw[semithick] (1,-0.85) rectangle (10,-3.85) ;
\draw (1.25,-1.6) node[font=\sffamily\Large,right] {g(x)=4/(1+e\textasciicircum(-k x))} ;
\draw (1.25,-2.725) node[font=\LARGE,right] {$\rightarrow$ \: $\mathsf{g(x)=\dfrac{4}{e^{-kx}+1}}$} ;
%LIGNE2
\draw[semithick,fill=cyan!25] (0,-3.85) rectangle (1,-6.85) node[midway,font=\LARGE\sffamily] {2} ;
\draw[semithick] (1,-3.85) rectangle (10,-6.85) ;
\draw (1.25,-4.6) node[font=\sffamily\Large,right] {Simplifier(g"(x))} ;
\draw (1.25,-5.725) node[font=\LARGE,right] {$\rightarrow$ \: $\mathsf{g''(x)=-4e^{kx}\big(e^{kx}-1\big)\dfrac{k^2}{\big(e^{kx}+1\big)^3}}$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{5mm}
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)}
\medskip
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
\medskip
\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation} : La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par$u_n = \frac{(-1)^n}{n+1}$ est bornée.
\item \textbf{Affirmation} : Toute suite bornée est convergente.
\item \textbf{Affirmation} : Toute suite croissante tend vers $+\infty$.
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln(x^2+2x+2)$.
\smallskip
\textbf{Affirmation} : La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[-3;1]$.
\item On considère la fonction \texttt{mystere} définie ci-dessous qui prend une liste \texttt{L} de nombres en paramètre. On rappelle que \texttt{len(L)} renvoie la longueur, c’est-à-dire le nombre d’éléments de la liste \texttt{L}.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=13cm]{center}
def mystere(L) :
M = L[0]
#On initialise M avec le premier élément de la liste L
for i in range(len(L)) :
if L[i] > M :
M = L[i]
return M
\end{CodePythonLstAlt}
\textbf{Affirmation} : L’exécution de \texttt{mystere([2,3,7,0,6,3,2,0,5])} renvoie \texttt{7}.
\end{enumerate}
\end{document}