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{Probabilités / Variables aléatoires / Bienaymé-Tchebychev},
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%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
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\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
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\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
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L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
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%script python
\begin{scontents}[overwrite,write-out=an2025j2exo2.py]
from math import *
def Briggs(a) :
n = 0
while a >= 1.01 :
n = n+1
L = .......
return L
\end{scontents}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{amnord}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1
\medskip
Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.
\textit{Les \textbf{PARTIES A} et \textbf{B} sont indépendantes.}
\medskip
\textbf{PARTIE A}
\medskip
L'entraineur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0,32$.
Lors d'un entrainement, Victor effectue une série de 15 lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.
\smallskip
On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.
\smallskip
\textit{Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.}
\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
\item Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.
\item Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.
\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$.
\item On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $T$ en fonction de $N$.
\item En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\item Calculer $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{PARTIE B}
\medskip
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.
\smallskip
On admet que l'espérance $\Esper{X}=22$ et la variance $\Varianc{X}=65$.
\smallskip
Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif.
On note $X_{1}$, $X_{2}$, \ldots, $X_{n}$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des 1\up{er}, 2\up{e}, \ldots, $n$-ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_{1}$, $X_{2}$, \ldots, $X_{n}$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$.
\smallskip
On pose $M_{n}=\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}}{n}$.
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $n=50$.
\begin{enumerate}
\item Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ?
\item Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$.
\item Démontrer que $P\big(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\big) \leqslant \frac{13}{90}$.
\item En déduire que la probabilité de l'événement « $19 < M_{50} < 25$ » est strictement supérieure à $0,85$.
\end{enumerate}
\item Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :
« Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P\big(\left|M_{n}-22\right| \geqslant 3\big)< 0,01$ ».
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2
\medskip
Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel $\ln(2)$, en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au 16\up{e} siècle.
On désigne par $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : \[u_{0}=2 \quad \text { et } \quad \text { pour tout entier naturel } n,~u_{n+1}=\sqrt{u_{n}}.\]
\textbf{PARTIE A}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur exacte de $u_{1}$ et de $u_{2}$.
\item Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}$.
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
\item Résoudre dans l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ l'équation $\sqrt{x}=x$.
\item Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{PARTIE B}
\medskip
On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln{\left(u_{n}\right)}$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $\ln(2)=2^{n} \ln{\left(u_{n}\right)}$.
\end{enumerate}
\item On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $\ln$ et la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
Une équation de la droite T est $y=x-1$.
Les points $A_{0}, A_{1}, A_{2}$ ont pour abscisses respectives $u_{0}, u_{1}$ et $u_{2}$ et pour ordonnée 0 .
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=4.4cm,y=4.4cm,Xmin=-0.25,Xmax=2.25,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-0.25,Ymax=1.25,Ygrille=1,Ygrilles=1]
\draw (-2pt,-2pt) node[below left] {$0$} ;
\TracerAxesGrilles[Grille=false,Elargir=2.5mm]{1,2}{0.5,1}
\TracerCourbe[Couleur=red,Debut=0.5]{ln(x)}
\TracerCourbe[Couleur=blue]{x-1}
\PlacerTexte[Police=\Large,Couleur=red]{(1.91,0.568)}{$\mathcal{C}$}
\PlacerTexte[Police=\Large,Couleur=blue]{(1.91,0.795)}{$T$}
%points suite u_n
\filldraw (2,0) circle[radius=2pt] node[above] {$A_{0}$} ;
\filldraw ({sqrt(2)},0) circle[radius=2pt] node[above] {$A_{1}$} ;
\filldraw ({sqrt(sqrt(2))},0) circle[radius=2pt] node[above] {$A_{2}$} ;
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
On décide de prendre $x-1$ comme approximation de $\ln(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\IntervalleOO{0,99}{1,01}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_{k}$ appartienne à l'intervalle $\IntervalleOO{0,99}{1,01}$ et donner une valeur approchée de $u_{k}$ à $10^{-5}$ près.
\item En déduire une approximation de $\ln \left(u_{k}\right)$.
\item Déduire des questions \textbf{1.(c)} et \textbf{2.(b)} de la \textbf{partie B} une approximation de $\ln (2)$.
\end{enumerate}
\item On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à 1.
Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel \AffVignette[Type=py]{Briggs(a)} renvoie une approximation de $\ln (a)$.
On rappelle que l'instruction en langage \AffVignette[Type=py]{Python} \AffVignette[Type=py]{sqrt(a)} correspond à $\sqrt{a}$.
\CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{an2025j2exo2.py}
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3
\medskip
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.
\smallskip
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
\bigskip
\textbf{PARTIE A}
\medskip
$ABCDEFGH$ est un cube d'arête de longueur 1. Les points $I$, $J$, $K$, $L$ et $M$ sont les milieux respectifs des arêtes $[AB]$, $[BF]$, $[AE]$, $[CD]$ et $[DH]$.
\begin{Centrage}
\begin{tikzpicture}[x={(5:3.5cm)},y={(145:1.5cm)},z={(90:3.5cm)}]
%placement des points avec labels
\PlacePointsEspace{A/0,0,0/bg B/1,0,0/bd C/1,1,0/hd D/0,1,0/g E/0,0,1/bg F/1,0,1/d G/1,1,1/hd H/0,1,1/hg}
\PlacePointsEspace{I/0.5,0,0/bd J/1,0,0.5/d K/0,0,0.5/g L/0.5,1,0/h M/0,1,0.5/g}
%segments pointillés
\TraceSegmentsEspace[thick,dashed]{B/C C/D C/G}
%segments pleins
\TraceSegmentsEspace[thick]{A/B A/D A/E D/H B/F H/E E/F F/G G/H}
%Marques points
\MarquePointsEspace{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M}
\end{tikzpicture}
\end{Centrage}
\textbf{Affirmation 1 :} « $\Vecteur{JH}=2 \Vecteur{BI}+\Vecteur{DM}-\Vecteur{CB}$. »
\smallskip
\textbf{Affirmation 2 :} « Le triplet de vecteurs $\big(\Vecteur{AB},\Vecteur{AH},\Vecteur{AG}\big)$ est une base de l'espace. »
\smallskip
\textbf{Affirmation 3} : « $\Vecteur{IB} \cdot \Vecteur{LM}=-\frac{1}{4}$. »
\bigskip
\textbf{PARTIE B}
\medskip
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :
\begin{itemize}
\item le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2 x-y+3 z+6=0$ ;
\item les points $A(2;0;-1)$ et $B(5;-3;7)$.
\end{itemize}
\textbf{Affirmation 4 :} « Le plan $\mathcal{P}$ et la droite $(AB)$ sont parallèles. »
\smallskip
\textbf{Affirmation 5 :} « Le plan $\mathcal{P}'$ parallèle à $\mathcal{P}$ passant par $B$ a pour équation cartésienne $-2 x+y-3 z+34=0$ »
\smallskip
\textbf{Affirmation 6 :} « La distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\frac{\sqrt{14}}{2}$. »
\medskip
On note $(d)$ la droite de représentation paramétrique \[ \begin{cases}x=-12+2k\\y=6\\z=3-5k\end{cases}, \text { où } k \in R.\]
\textbf{Affirmation 7 :} « Les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas coplanaires. »
\pagebreak
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4
\medskip
On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{\pi}$ par $f(x)=\e^{x}\,\sin (x)$.
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.
\medskip
\textbf{PARTIE A}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\IntervalleFF{0}{\pi}$, $f^{\prime}(x)=\e^{x}\,(\sin (x)+\cos (x))$.
\item Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{\frac{\pi}{2}}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 0 .
\item Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{\frac{\pi}{2}}$.
\item En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\IntervalleFF{0}{\frac{\pi}{2}}$, $\e^{x}\,\sin (x) \geqslant x$.
\end{enumerate}
\item Justifier que le point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion.
\end{enumerate}
\textbf{PARTIE B}
\medskip
On note $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \e^{x}\,\sin (x) \dx$ et $J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \e^{x}\,\cos(x) \dx$.
\begin{enumerate}
\item En intégrant par parties l'intégrale I de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes : $\quad I=1+J \quad$ et $\quad I=\e^{\frac{\pi}{2}}-J$.
\item En déduire que $I=\frac{1+\e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$.
\item On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x$.
Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{\pi}$.
Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=\frac{\pi}{2}$.
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=0.5cm,Xmin=-1.25,Xmax=4,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-1.5,Ymax=8.75,Ygrille=1,Ygrilles=1]
\TracerAxesGrilles[Grille=false,Police=\small,Elargir=2.5mm]{-1,1,2,3,4}{2,4,6,8}
\draw (-2pt,-2pt) node[below left] {$0$} ;
\DefinirCourbe[Nom=cf]< f >{exp(x)*sin(x)}
\DefinirCourbe[Nom=cg]< g >{x}
\TracerIntegrale[Type=fct/fct,Style=hachures,Couleur=darkgray]{f(x)}[g(x)]{0}{pi/2}
\draw[darkgray,pfltraitantec] ({pi/2},{pi/2})--({pi/2},0) node[below,font=\small] {$\frac{\pi}{2}$} ;
\TracerCourbe[Couleur=red,Debut=0,Fin=pi]{f(x)}
\TracerCourbe[Couleur=blue,Debut=0,Fin=pi]{g(x)}
\PlacerTexte[Police=\large,Couleur=red]{(3,7)}{$\mathcal{C}_{f}$}
\PlacerTexte[Police=\large,Couleur=blue]{(2.25,3)}{$\mathcal{C}_{g}$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
\end{enumerate}
\end{document}