% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\def\repartpts{6,6,4,4,}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Suites / Python},
{Fonctions / Exponentielle / Intégration},
{Dénombrement / Probabilités / Variables aléatoires},
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}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
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%transcription principale faite par mistral.ai
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%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
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\usepackage{forest}
\forestset{
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\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
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\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
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L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
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\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\usetikzlibrary{hobby}
\usepackage{scontents}
%script python
\begin{scontents}[overwrite,write-out=ce2025j2exo1.py]
n = 0
u = 6
v = 6
while ...... :
u = ......
v = ......
n = n + 1
print(2025 + n)
\end{scontents}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{ce}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1
\medskip
On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B. Au 1\up{er} janvier 2025, on introduit \num{6000} individus dans chacun des milieux A et B.
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.
On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $0,93$. Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente la population au 1\up{er} janvier de l'année $2025 + n$, exprimée en milliers d'individus.
\begin{enumerate}
\item Donner, selon ce modèle, la population au 1\up{er} janvier 2026.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.
On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0 = 6$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = -0,05 v_n^2 + 1,1 v_n$.
Pour tout entier naturel $n$, $v_n$ représente la population au 1\up{er} janvier de l'année $2025 + n$, exprimée en milliers d'individus.
\begin{enumerate}
\item Donner, selon ce modèle, la population au 1\up{er} janvier 2026.
\end{enumerate}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par $f(x) = -0,05x^2 + 1,1x$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0; 11]$.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $2 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 6$.
\item En déduire que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente vers une limite $\ell$.
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ puis en déduire la valeur de $\ell$.
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C}
\medskip
Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux.
\begin{enumerate}
\item En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à \num{3000} individus.
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à \num{3000} individus.
\item Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-1.25\baselineskip]
\begin{minipage}{5.25cm}
{\CodePythonLstFichierAlt*[5cm]{center}{ce2025j2exo1.py}}
\end{minipage}
\end{wrapstuff}
\item On considère le programme \textsf{Python} ci-contre.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.
\item Déterminer l'année affichée après exécution du programme.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x) = \frac{1}{a + e^{-bx}} \]
%
où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles strictement positives.
\smallskip
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. La fonction $f$ admet pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous :
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.2cm,y=5cm,Xmin=-5,Xmax=30,Xgrille=5,Xgrilles=5,Ymin=0,Ymax=1.1,Ygrille=0.1,Ygrille=0.1]
\TracerAxesGrilles[Elargir=2.5mm]{auto}{0.5,1}
\DefinirCourbe[Nom=d,Trace,Couleur=blue]< d >{0.05*x+0.5}
\DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=red,Debut=0]< f >{1/(1+exp(-0.2*x))}
\MarquerPts[Style=x]{(0,0.5)/$A$/below right,(10,1)/$B$/below right}
\PlacerTexte[Couleur=red,Police=\large]{(27.5,0.925)}{$C_f$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
On considère les points $A(0; 0,5)$ et $B(10; 1)$.
On admet que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f(10)$.
\item On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$. Donner une interprétation graphique de ce résultat.
\item Justifier que $a = 1$.
\item Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de la constante $b$.
\item En déduire la valeur de $b$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x) = \frac{1}{1 + e^{-0,2x}} \]
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ positif tel que $f(\alpha) = 0,97$.
\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel $\alpha$ par deux nombres entiers consécutifs.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C}
\smallskip
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$, $f(x) = \dfrac{e^{0,2x}}{1 + e^{0,2x}}$.
\item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 40]$, c'est-à-dire : \[ I = \frac{1}{40} \int_{0}^{40} \frac{1}{1 + e^{-0,2x}} \dx. \]
%
On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au millième.
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3
\medskip
Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères : les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.
\medskip
\textit{Les parties A, B et C sont indépendantes.}
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64.
Par exemple, « gP3g » est une telle séquence.
Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte : les séquences « m5C2 » et « 5C2m » ne sont pas identiques.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de séquences possibles.
\item Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux.
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule.
\item En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.
\item Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.
\item Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre. On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à $0,01$ et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.
\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale. Donner ses paramètres.
\item Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. \textit{On donnera l'expression exacte, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.}
\item Que pensez-vous de l'affirmation suivante : « La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable » ?
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C}
\medskip
On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères.
On note $X_1$, $X_2$, $X_3$ et $X_4$ les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences. On admet que les variables aléatoires $X_1, X_2, X_3$ et $X_4$ sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire $X$ définie en \textbf{partie B}.
On note $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$.
\medskip
Déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S$.
\pagebreak
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4
\medskip
On se place dans un repère orthonormé $\Rijk$ de l'espace.
On considère les points $A(1; 0; 3)$, $B(-2; 1; 2)$ et $C(0; 3; 2)$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Vérifier que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
\item En déduire que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne $-x + y + 4z - 11 = 0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $3x - 3y + 2z - 9 = 0$ et le plan $\mathcal{P}'$ d'équation cartésienne $x - y - z + 2 = 0$.
\begin{enumerate}[resume]
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection.
\item Déterminer si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\item Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\vect{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
\item Montrer que le point $M(2; 1; 3)$ appartient aux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$.
En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
\item Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan $(ABC)$.
Que peut-on dire des trois plans $(ABC)$, $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ?
\end{enumerate}
\end{document}