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{Probabilités conditionnelles / Loi binomiale / Variables aléatoires},
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L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
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%def seuil() :
% n = 0
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% n = ...........
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{fr.v2}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1
\medskip
\textit{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}
\medskip
Dans cet exercice, on s'intéresse à des personnes venues séjourner dans un centre multisports au cours d'un week-end.
Les résultats des probabilités demandées seront arrondis au millième si nécessaire.
\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}
Le centre propose aux personnes venues pour un week-end une formule d'initiation au roller composée de deux séances de cours. On choisit au hasard une personne parmi celles ayant souscrit à cette formule.
\medskip
On désigne par $A$ et $B$ les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $A$ : \og La personne chute pendant la première séance \fg{}:
\item $B$ : \og La personne chute pendant la deuxième séance \fg{}.
\end{itemize}
Pour un évènement $E$ quelconque, on note $P(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ son évènement contraire.
\medskip
Des observations permettent d'admettre que $P(A)=0,6$.
\medskip
De plus on constate que :
\begin{itemize}
\item Si la personne chute pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0,3$ ;
\item Si la personne ne chute pas pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0,4$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité $P\big(\overline{A} \cap \overline{B}\big)$ et interpréter le résultat.
\item Montrer que $P(B)=0,34$.
\item La personne ne chute pas pendant la deuxième séance de cours. Calculer la probabilité qu'elle n'ait pas chuté lors de la première séance.
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 personnes ayant souscrit à la formule, associe le nombre d'entre elles n'ayant chuté ni lors de la première ni lors de la deuxième séance. On assimile le choix d'un échantillon de 100 personnes à un tirage avec remise.
On admet que la probabilité qu'une personne ne chute ni lors de la première ni lors de la deuxième séance est de $0,24$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Quelle est la probabilité d'avoir, dans un échantillon de 100 personnes ayant souscrit à la formule, au moins 20 personnes qui ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance ?
\item Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}
On choisit au hasard une personne venue un week-end au centre multisports. On note $T_{1}$ la variable aléatoire donnant son temps d'attente total en minute avant les accès aux activités sportives pendant la journée du samedi, et $T_{2}$ la variable aléatoire donnant son temps d'attente total en minute avant les accès aux activités sportives pendant la journée du dimanche.
On admet que :
\begin{itemize}
\item $T_{1}$ suit une loi de probabilité d'espérance $\Esper{T_{1}}=40$ et d'écart-type $\sigma\left(T_{1}\right)=10$ ;
\item $T_{2}$ suit une loi de probabilité d'espérance $\Esper{T_{2}}=60$ et d'écart-type $\sigma\left(T_{2}\right)=16$ ;
\item les variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$ sont indépendantes.
\end{itemize}
On note $T$ la variable aléatoire donnant le temps total d'attente avant les accès aux activités sportives lors des deux jours, exprimé en minute. Ainsi on a $T=T_{1}+T_{2}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'espérance $\Esper{T}$ de la variable aléatoire $T$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Montrer que la variance $\Varianc{T}$ de la variable aléatoire $T$ est égale à 356.
\item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour une personne choisie au hasard parmi celles venues un week-end au centre multisports, la probabilité que son temps total d'attente $T$ soit strictement compris entre 60 et 140 minutes est supérieure à $0,77$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2
\medskip
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.
On considère :
\begin{itemize}
\item les points $A(-1 ; 2 ; 1)$, $B(1 ;-1 ; 2)$ et $C(1 ; 1 ; 1)$;
\item la droite $d$ dont une représentation paramétrique est donnée par : \[ d~:~\begin{cases} x=\tfrac{3}{2}+2 t \\ y=2+t \\ z=3-t \end{cases}~\text{ avec } t \in \R ;\]
\item la droite $d’$ dont une représentation paramétrique est donnée par : \[ d'~:~\begin{cases} x=s \\ y=\tfrac{3}{2}+s \\ z=3-2 s \end{cases}~\text{ avec } s \in \R.\]
\end{itemize}
\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}
\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites $d$ et $d'$ sont sécantes au point $S\left(-\dfrac{1}{2} ; 1 ; 4\right)$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que le vecteur $\vect{n} \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : \[x+2 y+4 z-7=0.\]
\item Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point $H(-1 ; 0 ; 2)$ est le projeté orthogonal de $S$ sur le plan $(ABC)$.
\item En déduire qu'il n'existe aucun point $M$ du plan $(ABC)$ tel que $SM < \frac{\sqrt{21}}{2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}
On considère un point $M$ appartenant au segment $[CS]$. On a donc $\vect{CM}= k \vect{CS}$ avec $k$ réel de l'intervalle $[0 ; 1]$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point $M$ en fonction de $k$.
\item Existe-t-il un point $M$ sur le segment $[CS]$ tel que le triangle $MAB$ soit rectangle en $M$ ?
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3
\medskip
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{n}=\dfrac{1+5^{n}}{2+3^{n}}.\]
%
\textbf{Affirmation 1 :} La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\dfrac{5}{3}$.
\item On considère la suite $(w_{n})$ définie par : \[ w_{0}=0 \text{ et, pour tout entier naturel },~w_{n+1}=3 w_{n}-2 n+3. \]
%
\textbf{Affirmation 2 :} Pour tout entier naturel $n$, $ w_{n} \geqslant n$.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, dont la courbe représentative $C_{f}$ est donnée dans un repère orthonormé sur la figure (\textsf{Fig. 1}). On précise que :
\begin{itemize}
\item $T$ est la tangente à $C_{f}$ au point A d'abscisse $8$ ;
\item l'axe des abscisses est la tangente horizontale à $C_{f}$ au point d'abscisse 1.
\end{itemize}
\begin{Centrage}%en test...
\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1cm,Xmin=-0.8,Xmax=12.8,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-0.8,Ymax=9,Ygrille=1,Ygrilles=1]
\TracerAxesGrilles[Origine]{1}{1}
%\DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=blue]< t >{0.52425*(x-8)+4.3775}
%\DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=red,Debut=0.001,Pas=0.01]< f >{-1.366*ln(x)-0.048*x^(2)+1.463*x-1.414}
\DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=blue]< t >{0.52*(x-8)+4.35}
\DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=red,Debut=0.01,Pas=0.01]< f >{2.1272*ln(x)+0.2918*x-2.711+2.4191/x}
\DefinirImage[Nom=IMGf]{f}{8}
\MarquerPts{(IMGf)/$A$/above}
\PlacerTexte[Couleur=red]{(12.5,6)}{$C_{f}$}
\PlacerTexte[Couleur=blue]{(12.5,7)}{$T$}
\end{GraphiqueTikz}
\textsf{Fig. 1}
\end{Centrage}
\textbf{Affirmation 3 :} D'après le graphique, la fonction $f$ est convexe sur son ensemble de définition.
\item \textbf{Affirmation 4 :} Pour tout réel $x>0$, $\ln (x)-x+1 \leqslant 0$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4
\medskip
L'objet de cet exercice est l'étude de l'arrêt d'un chariot sur un manège, à partir du moment où il entre dans la zone de freinage en fin de parcours.
\smallskip
On note $t$ le temps écoulé, exprimé en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.
On modélise la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage, exprimée en mètre, en fonction de $t$, à l'aide d'une fonction notée $d$ définie sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
\smallskip
On a ainsi $d(0)=0$.
\smallskip
Par ailleurs, on admet que cette fonction $d$ est dérivable sur son ensemble de définition. On note $d’$ sa fonction dérivée.
\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}
Sur la figure (\textsf{Fig. 2}) ci-dessous, on a tracé dans un repère orthonormé :
\begin{itemize}
\item la courbe représentative $C_{d}$ de la fonction $d$ ;
\item la tangente $T$ à la courbe $C_{d}$ au point $A$ d'abscisse $4,7$ ;
\item l'asymptote $\Delta$ à $C_{d}$ en $+\infty$.
\end{itemize}
\begin{Centrage}%en test...
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.5cm,y=0.5cm,Xmin=-1.2,Xmax=16.8,Xgrille=1,Xgrilles=0.2,Ymin=-1.8,Ymax=24.4,Ygrille=1,Ygrilles=0.2]
\TracerAxesGrilles[Origine]{1,10}{1,10,20}
\DefinirCourbe[Nom=T,Trace,Couleur=blue]< t >{0.99542*(x-4.7)+20.95317}
\DefinirCourbe[Nom=D,Trace,Couleur=darkgray,StyleTrace=densely dashed]< asy >{205/9}
\DefinirCourbe[Nom=Cd,Trace,Couleur=red,Debut=0]< d >{exp(-0.6*x)*(-5/3*x-205/9)+205/9}
\DefinirImage[Nom=IMGd]{d}{4.7}
\MarquerPts{(IMGd)/$A$/above left}
\PlacerTexte[Position=below left]{(\pflxmax,0)}{$t$}
\PlacerTexte[Couleur=darkgray,Position=above]{(1.5,{205/9})}{$\Delta$}
\PlacerTexte[Couleur=red,Position=below]{(15.75,{205/9})}{$C_{d}$}
\PlacerTexte[Couleur=blue]{(7,23.75)}{$T$}
\end{GraphiqueTikz}
\textsf{Fig. 2}
\end{Centrage}
\textit{Dans cette partie, aucune justification n'est attendue.}
\medskip
Avec la précision que permet le graphique, répondre aux questions ci-dessous.
D'après ce modèle :
\begin{enumerate}
\item Au bout de combien de temps le chariot aura-t-il parcouru 15 m dans la zone de freinage ?
\item Quelle longueur minimale doit-être prévue pour la zone de freinage ?
\item Que vaut $d’(4,7)$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}
On rappelle que $t$ désigne le temps écoulé, en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.
On modélise la vitesse instantanée du chariot, en mètre par seconde (m.s${}^{-1}$), en fonction de $t$, par une fonction $v$ définie sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
On admet que :
\begin{itemize}
\item la fonction $v$ est dérivable sur son ensemble de définition, et on note $v’$ sa fonction dérivée ;
\item la fonction $v$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$ : \[ y’+0,6 y=\e^{-0,6 t}, \]
où $y$ est une fonction inconnue et où $y’$ est la fonction dérivée de $y$.
\end{itemize}
On précise de plus que, lors de son arrivée sur la zone de freinage, la vitesse du chariot est égale à 12~m.s${}^{-1}$, c'est-à-dire $v(0)=12$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle $\left(E’\right)$ : $y’+0,6 y=0$.
Déterminer les solutions de l'équation différentielle ( $E’$ ) sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par $g(t)=t\,\e^{-0,6t}$.
Vérifier que la fonction $g$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
\item En déduire que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$, on a : \[ v(t)=(12+t) \e^{-0,6 t}. \]
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on étudie la fonction $v$ sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $t \in \IntervalleFO{0}{+\infty}$, $v’(t)=(-6,2-0,6 t)\e^{-0,6 t}$.
\item En admettant que : \[ v(t)=12\e^{-0,6 t}+\dfrac{1}{0,6} \times \dfrac{0,6 t}{\e^{0,6 t}},\]
%
déterminer la limite de $v$ en $+\infty$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $v$ et dresser son tableau de variation complet. Justifier.
\item Montrer que l'équation $v(t)=1$ admet une solution unique $\alpha$, dont on donnera une valeur approchée au dixième.
\end{enumerate}
\item Lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à 1 mètre par seconde, un système mécanique se déclenche permettant son arrêt complet. Déterminer au bout de combien de temps ce système entre en action. Justifier.
\end{enumerate}
\begin{center}\textbf{Partie C}\end{center}
On rappelle que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ : \[ v(t)=(12+t) \e^{-0,6 t}. \]
On admet que pour tout réel $t$ dans l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ : \[ d(t)=\int_{0}^{t} v(x) \dx. \]
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que la distance parcourue par le chariot entre les instants 0 et $t$ est donnée par : \[ d(t)=\e^{-0.6 t}\left(-\dfrac{5}{3} t-\dfrac{205}{9}\right)+\dfrac{205}{9}. \]
\item On rappelle que le dispositif d'arrêt se déclenche lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à 1 mètre par seconde. Déterminer, selon ce modèle, une valeur approchée au centième de la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage avant le déclenchement de ce dispositif.
\end{enumerate}
\end{document}