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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\annee}{2025}
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\newcommand{\lieu}{Nouv. Cal.}%merci à Pauline DM. pour le sujet
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\def\repartthemes{%
{VRAI\&{}FAUX / Espace},
{Probabilités / Variables aléatoires / Intégration},
{Suites / Logarithme},
{Fonctions / Variations / Logarithme}
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\title{\nomfichier}
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%transcription principale faite par mistral.ai
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%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
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\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
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\vspace*{0.5cm}
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\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.625\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1.5cm]{memo}} ;}]
L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\usepackage{scontents}
%script python
%\begin{scontents}[overwrite,write-out=nouvcal2025j2exo3.py]
%from math import exp
%
%def suite() :
% u = ...
% for n in range(1, ...) :
% u = ...
% return u
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
%\hfill\twemoji[height=5cm]{1f3dd}\hfill\null
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{nouvcal}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\cabin\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.6cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1
\medskip
\textit{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}
\smallskip
On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête 1 et le point I défini par $\Vecteur{FI}=\dfrac{1}{3} \Vecteur{FB}$.
\smallskip
On pourra se placer dans le repère orthonormé de l'espace \RepereEspace{A}{AB}{AD}{AE}.
\begin{Centrage}
\begin{EnvTikzEspace}[VueClassique]
\PlacePointsEspace[]{A/0,0,0/bg B/4,0,0/bd C/4,4,0/hd D/0,4,0/hg E/0,0,4/hg F/4,0,4/hg G/4,4,4/hd H/0,4,4/hg I/4,0,{2*4/3}/d}
\TraceSegmentsEspace[thick,dashed]{A/D D/C D/H}
\TraceSegmentsEspace[thick]{A/B B/C C/G G/H H/E E/A E/F B/F F/G}
\MarquePointsEspace[]{A,B,C,D,E,F,G,H,I}
\end{EnvTikzEspace}
\end{Centrage}
\begin{enumerate}
\item On considère le triangle $HAC$.
\medskip
\textbf{Affirmation 1 :} Le triangle $HAC$ est un triangle rectangle.
\medskip
\item On considère les droites $(HF)$ et $(DI)$.
\medskip
\textbf{Affirmation 2 :} Les droites $(HF)$ et $(DI)$ sont sécantes.
\medskip
\item On considère un réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleOO{0}{\pi}$.
On considère le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} \sin (\alpha) \\ \sin (\pi-\alpha) \\ \sin (-\alpha) \end{pmatrix}$.
\medskip
\textbf{Affirmation 3 :} Le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur normal au plan $(FAC)$.
\medskip
\item Le cube $ABCDEFGH$ possède 8 sommets. On s'intéresse au nombre $N$ de segments que l'on peut construire en reliant 2 sommets distincts quelconques du cube.
\medskip
\textbf{Affirmation 4 :} $N=\dfrac{8^{2}}{2}$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2
\medskip
Dans le repère orthonormé $(O;I,J)$ ci-dessous, on a représenté :
\begin{itemize}
\item la droite d'équation $y=x$ ;
\item la droite d'équation $y=1$ ;
\item la droite d'équation $x=1$ ;
\item la parabole d'équation $y=x^{2}$.
\end{itemize}
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=4cm,y=4cm,Xmin=0,Xmax=1.15,Ymin=0,Ymax=1.15]
\draw[line width=0.8pt] (1,0) |- (0,1) ;
\TracerAxesGrilles[Grille=false]{}{}
\PlacerTexte[Police=\large,Position=below left]{(0,0)}{$O$}
\PlacerTexte[Police=\large,Position=left]{(0,1)}{$J$}
\PlacerTexte[Police=\large,Position=below]{(1,0)}{$I$}
\PlacerTexte[Police=\large,Position=right]{(1,1)}{$K$}
\DefinirCourbe[Couleur=red,Trace,Fin=1]{x}
\DefinirCourbe[Couleur=blue,Trace,Fin=1]{x^2}
\PlacerTexte[]{(0.225,0.825)}{ZONE 1}
\PlacerTexte[]{(0.775,0.175)}{ZONE 2}
\draw (0.5,0.385) node[rotate=45] {ZONE 3} ;
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
On peut ainsi partager le carré $OIKJ$ en trois zones.
\bigskip
\hfill{}\textit{Les parties B et C peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}\hfill\null
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Démontrer les résultats figurant dans le tableau ci-dessous.
\begin{Centrage}
\begin{tblr}{width=8cm,hlines,vlines,colspec={*{4}{X[m,c]}},stretch=1.25}
ZONE & ZONE 1 & ZONE 2 & ZONE 3 \\
AIRE & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{3}$ & $\frac{1}{6}$ \\
\end{tblr}
\end{Centrage}
\medskip
\textbf{Partie B : un premier jeu}
\medskip
Un joueur lance une fléchette sur le carré ci-dessus. On admet que la probabilité qu'elle tombe sur une zone est égale à l'aire de cette zone. Ainsi, la probabilité que la fléchette tombe sur la ZONE 3 est égale à $\dfrac{1}{6}$.
\begin{itemize}
\item Si la fléchette tombe sur la ZONE 3, alors le joueur lance une pièce équilibrée. Si la pièce tombe sur PILE, alors le joueur gagne, sinon il perd.
\item Si la fléchette tombe sur une autre zone que la ZONE 3, alors le joueur lance un dé équilibré à six faces. Si le dé tombe sur la FACE 6, alors le joueur gagne, sinon il perd.
\end{itemize}
On note les évènements suivants :
$T$ : « la fléchette tombe sur la ZONE 3 » ;
$G$ : « le joueur gagne ».
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $\frac{2}{9}$.
\item On sait que le joueur a gagné. Quelle est la probabilité que la fléchette soit tombée sur la ZONE 3 ?
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie C : un second jeu}
\medskip
Un joueur, appelé joueur $n^{\circ} 1$, lance une fléchette sur le carré précédent. Comme dans la partie B, on admet que la probabilité que la fléchette tombe sur chacune des zones est égale à l'aire de cette \textit{zone}.
\smallskip
Le joueur gagne une somme égale, en euros, au numéro de la zone. Par exemple, si la fléchette tombe sur la ZONE 3, le joueur gagne 3 euros.
\smallskip
On note $X_{1}$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur $n^{\circ} 1$. On note respectivement $\Esper{X_1}$ et $\Varianc{X_{1}}$ l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X_{1}$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $\Esper{X_1}$.
\item Montrer que $\Varianc{X_{1}}=\frac{5}{9}$.
\end{enumerate}
\item Un joueur $n^{\circ} 2$ et un joueur $n^{\circ} 3$ jouent à leur tour, dans les mêmes conditions que le joueur $n^{\circ} 1$. On admet que les parties de ces trois joueurs sont indépendantes les unes des autres.
On note $X_{2}$ et $X_{3}$ les variables aléatoires donnant les gains des joueurs $n^{\circ} 2$ et $n^{\circ} 3$. On note $Y$ la variable aléatoire définie par $Y=X_{1}+X_{2}+X_{3}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que l'on ait $Y=9$.
\item Calculer $\Esper{Y}$.
\item Justifier que $\Varianc{Y}=\dfrac{5}{3}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3
\medskip
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :
\[ f(x)=\ln \left(\e^{\frac{x}{2}}+2\right). \]
%
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
\smallskip
On considère la suite $\Suite{u}$ définie par $u_{0}=\ln (9)$ et, pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1}=f\big(u_{n}\big). \]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\item Montrer que $f\big(2 \ln (2)\big)=2 \ln (2)$.
\item Montrer que $u_{1}=\ln (5)$.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : \[ 2 \ln (2) \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}. \]
\item En déduire que la suite $\Suite{u}$ converge.
\item
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $X^{2}-X-2=0$.
\item En déduire l'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation : \[ \e^{x}-\e^{\frac{x}{2}}-2=0. \]
\item En déduire l'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation $f(x)=x$.
\item Déterminer la limite de la suite $\Suite{u}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=\frac{\ln (x)}{x^{2}}+1. \]
%
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
\smallskip
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en 0 et en $+\infty$.
En déduire les éventuelles asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, on a : \[ f^{\prime}(x)=\frac{1-2 \ln (x)}{x^{3}}. \]
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ possède une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$.
\item Donner un encadrement du réel $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[ g(x)=\ln (x). \]
%
On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé d'origine $O$. On considère un réel $x$ strictement positif et le point $M$ de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $x$. On note $OM$ la distance entre les points $O$ et $M$.
\begin{wrapstuff}[r]
\begin{GraphiqueTikz}[x=1.1cm,y=2.17cm,Xmin=-1,Xmax=4.5,Ymin=-1,Ymax=1.5]
\def\valx{2.1}
\TracerAxesGrilles[Grille=false]{}{}
\DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=0.1,Trace,Couleur=red]{ln(x)}
\draw[pfltraitantec] (\valx,0) node[below] {$x$} -- (\valx,{ln(\valx)}) node[above left] {$M$} ;
\MarquerPts*[Style=+]{(\valx,{ln(\valx)})}
\draw[line width=0.9pt] (\valx,{ln(\valx)}) -- (0,0) node[below left] {$O$};
\PlacerTexte[Couleur=red,Position=above left]{(3.25,{ln(3.25)})}{$\mathcal{C}_{g}$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}
\begin{enumerate}
\item Exprimer la quantité $OM^{2}$ en fonction du réel $x$.
\item Montrer que, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, la quantité $OM^{2}$ admet un minimum en $\alpha$.
\item La valeur minimale de la distance OM, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, est appelée \emph{distance du point O à la courbe $\mathcal{C}_{g}$}. On note $d$ cette distance.
\smallskip
Exprimer $d$ à l'aide de $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}