% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\def\listenumexos{1,2,3,4}
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\def\repartpts{5,5,5,5}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Probabilités conditionnelles / Variables aléatoires},
{Espace},
{Fonctions / Variations / Intégration / Python / Suites},
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}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
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%transcription principale faite par mistral.ai
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%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
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\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
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\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\usepackage{forest}
\forestset{
fleche/.style = {edge={thick}},
aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
bproba/.style = {edge label = {node[below=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
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\draw[rotate = 45] (-#1,0) -- (#1,0);
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\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
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\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
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\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
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\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1.5cm]{memo}}}%
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L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\usetikzlibrary{hobby}
\usepackage{scontents}
%script python
\begin{scontents}[overwrite,write-out=po2025j1exo3.py]
from math import e
def mystere(n):
I = 1 - 1 / e
L = [I]
for i in range(n) :
I = (i + 1) * I - 1 / e
L.append(I)
return L
\end{scontents}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{poly.v2}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1
\medskip
Une équipe américaine a cartographié pour la première fois les allergies alimentaires chez l'enfant aux États-Unis en 2020. L'étude, publiée dans la revue \textit{Clinical Pediatrics}, révèle une différence nette entre les zones rurales et les zones urbaines.
\smallskip
On sait qu'en 2020, 17\,\% de la population des États-Unis habite en zone rurale et 83\,\% en zone urbaine.
\smallskip
L'étude menée montre que parmi les enfants des États-Unis vivant en zone rurale, il y en a $6,2$\,\% qui sont atteints d'allergie alimentaire.
L'étude révèle aussi que 9\,\% des enfants des États-Unis sont atteints d'allergie alimentaire. %NB := erreur sujet ??
\medskip
Pour un évènement $E$ quelconque, on note $P(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ on événement contraire.
\smallskip
\textbf{Sauf mention contraire, les probabilités seront données sous forme exacte.}
\bigskip
\textbf{Partie A.}
\medskip
On interroge au hasard un enfant dans la population des États-Unis et on note :
\begin{itemize}
\item $R$ l'événement : « l'enfant interrogé habite en zone rurale » ;
\item $A$ l'événement : « l'enfant interrogé est atteint d'allergie alimentaire ».
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone rurale et soit atteint d'allergie alimentaire.
\item En déduire la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone urbaine et soit atteint d'allergie alimentaire.
\item L'enfant interrogé habite en zone urbaine. Quelle est la probabilité qu'il soit atteint d'allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B.}
\medskip
On réalise une étude en interrogeant au hasard 100 enfants des États-Unis.
\smallskip
On admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'enfants atteints d'allergie alimentaire dans l'échantillon considéré.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Quelle est la probabilité qu'au moins 10 enfants parmi les 100 interrogés soient atteints d'allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie C.}
\medskip
On s'intéresse à un échantillon de 20 enfants atteints d'allergie alimentaire choisis au hasard.
\smallskip
L'âge d'apparition des premiers symptômes allergiques de ces 20 enfants est modélisé par les variables aléatoires $A_{1}$, $A_{2}$, \ldots, $A_{20}$. On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes et suivent la même loi d'espérance 4 et de variance $2,25$.
On considère la variable aléatoire : \[ M_{20} = \frac{A_{1} + A_{2} + \cdots + A_{20}}{20}. \]
\begin{enumerate}
\item Que représente la variable aléatoire $M_{20}$ dans le contexte de l'exercice ?
\item Déterminer l'espérance et la variance de $M_{20}$.
\item Justifier, à l'aide de l'inégalité de concentration, que : \[ P(2 < M_{20} < 6) > 0,97. \]
%
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2
\medskip
Deux avions sont en approche d'un aéroport. On munit l'espace d'un repère orthonormé $\Rijk$ dont l'origine $O$ est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan $P_{0}$ d'équation $z=0$.
L'unité des axes correspond à 1~km. On modélise les avions par des points.
\begin{Centrage}
\begin{EnvTikzEspace}[UniteX={-5:0.65cm},UniteY={20:0.3cm},UniteZ={90:0.7cm}]
%plan (xOy)
\fill[opacity=0.175,lightgray] (-8,-6,0)--(-8,7.75,0)--(6,7.75,0)--(6,-6,0)--cycle ;
%O
\draw (0,0,-0.25) node[below left,inner sep=1pt] {$O$} ;
%axe (Ox)
\draw[->,>=latex,line width=0.9pt] (-10,0,0)--(7,0,0) node[below] {$x$} ;
\foreach \x in {-8,-6,-4,-2,2,4,6}{%
\filldraw (\x,0,0) circle[radius=1.8pt] node[below=1.25pt,scale=0.66] {$\x$} ;
}
%axe (Oy)
\draw[->,>=latex,line width=0.9pt] (0,-8,0)--(0,9,0) node[above] {$y$} ;
\foreach \y in {-8,-6,-4,-2,2,4,6,8}{%
\filldraw (0,\y,0) circle[radius=1.8pt] node[above left=1.25pt,scale=0.66,inner sep=0.15pt] {$\y$} ;
}
%axe (Oz)
\draw[->,>=latex,line width=0.9pt] (0,0,-3)--(0,0,7) node[right] {$z$} ;
\foreach \z in {-2,2,4,6}{%
\filldraw (0,0,\z) circle[radius=1.8pt] node[left=1.25pt,scale=0.66] {$\z$} ;
}
%droite dB
\filldraw[red] (-4.93,-3.79,6.15) circle[radius=1.8pt] node[below left] {$B$} ;
\draw[red] (-4.02,-3.6,5.41) node[inner sep=1.25pt,below left] {$d_{B}$} ;
\draw[ultra thick,red] (-5.68,-3.94,6.74)--(2.74,-2.25,0.01) ;
\draw[ultra thick,dashed,red] (2.74,-2.25,0.01)--(4.36,-1.93,-1.29) ;
\draw[ultra thick,red] (4.36,-1.93,-1.29)--(5.16,-1.77,-1.93) ;
%droite dA
\filldraw[blue] (-6.13,0.57,5.7) circle[radius=1.8pt] node[above right] {$A$} ;
\draw[blue] (-5.52,0.26,4.78) node[inner sep=1.25pt,above right] {$d_{A}$} ;
\draw[ultra thick,blue] (-6.51,0.76,6.27)--(-2.33,-1.34,-0.01) ;
\draw[ultra thick,dashed,blue] (-2.33,-1.34,-0.01)--(-1.46,-1.77,-1.31) ;
\draw[ultra thick,blue] (-1.46,-1.77,-1.31)--(-0.96,-2.02,-2.06) ;
\end{EnvTikzEspace}
\end{Centrage}
L'avion Alpha transmet à la tour sa position en $A(-7; 1; 7)$ et sa trajectoire est dirigée par le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$.
L'avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite $d_{B}$ passant par le point $B$ dont une représentation paramétrique est : \[ \begin{cases} x = -11 + 5t \\ y = -5 + t \\ z = 11 - 4t \end{cases}~\text{ où } t \text{ décrit } \R.\]
\begin{enumerate}
\item S'il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point $S$ en lequel l'avion Bêta touchera le sol.
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d_{A}$ caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha.
\item Les deux avions peuvent-ils entrer en collision?
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'avion Alpha passe par la position $E(-3; -1; 1)$.
\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan $P_{E}$ passant par $E$ et perpendiculaire à la droite $d_{A}$ est : \[ 2x - y - 3z + 8 = 0. \]
\item Vérifier que le point $F(-1; -3; 3)$ est le point d'intersection du plan $P_{E}$ et de la droite $d_{B}$.
\item Calculer la valeur exacte de la distance $EF$, puis vérifier que cela correspond à une distance de \num{3464}~m, à 1~m près.
\end{enumerate}
\item La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins 3 milles nautiques l'un de l'autre (1 mille nautique vaut \num{1852}~m). Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en $E$ et $F$ au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée?
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3
\medskip
On munit le plan d'un repère orthonormé. Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ f_{0}(x) = \e^{-x} \text{ et, pour } n \geqslant 1,~f_{n}(x) = x^{n} \e^{-x}. \]
%
Pour tout entier naturel $n$, on note $C_{n}$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$.
\smallskip
\textit{Les parties A et B sont indépendantes.}
\medskip
\textbf{Partie A : Étude des fonctions $\bm{f_{n}}$ pour $\bm{n \geqslant 1}$}
\medskip
On considère un entier naturel $n \geqslant 1$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f_{n}$ est dérivable sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
Montrer que pour tout $x \geqslant 0$, \[ f_{n}^{\prime}(x) = (n - x) x^{n-1} \e^{-x}. \]
\item Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous :
\begin{Centrage}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,${f_{n}^{\prime}(x)}$/1,$f_{n}$/2}{$0$,$n$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,}
\tkzTabVar{-/$0$,+/${\left(\dfrac{n}{\e}\right)}^{n}$,-/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{Centrage}
\end{enumerate}
\item Justifier par le calcul que le point $A\left(1; \e^{-1}\right)$ appartient à la courbe $C_{n}$.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B : Étude des intégrales $\bm{\int_{0}^{1} f_{n}(x) \text{d}x}$ pour $\bm{n \geqslant 0}$}
\medskip
Dans cette partie, on étudie les fonctions $f_{n}$ sur $[0; 1]$ et on considère la suite $\left(I_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n}(x) \dx = \int_{0}^{1} x^{n} \e^{-x} \dx. \]
\begin{enumerate}
\item Sur le graphique en ANNEXE on a représenté les courbes $C_{0}$, $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{10}$ et $C_{100}$.
\begin{enumerate}
\item Donner une interprétation graphique de $I_{n}$.
\item Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $\left(I_{n}\right)$ ?
\end{enumerate}
\item Calculer $I_{0}$.
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que pour tout $x \in [0; 1]$, \[ 0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^{n}. \]
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : \[ 0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_{n}. \]
\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente, vers une limite positive ou nulle que l'on notera $\ell$.
\item En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : \[ I_{n+1} = (n+1) I_{n} - \frac{1}{\e}. \]
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $\ell > 0$, l'égalité de la question \textbf{5.} conduit à une contradiction.
\item Démontrer que $\ell = 0$. On pourra utiliser la question \textbf{6.a.}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
On donne ci-dessous le script de la fonction \AffVignette[Type=py]{mystere}, écrite en langage \textsf{Python}.
On a importé la constante $\e$ via \AffVignette[Type=py]{from math import e}.
\CodePythonLstFichierAlt*[12cm]{center}{po2025j1exo3.py}
\begin{enumerate}[resume]
\item Que renvoie \AffVignette[Type=py]{mystere(100)} dans le contexte de l'exercice?
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4
\medskip
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.\\Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.}
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle $(E)$ : \[ y^{\prime} = \frac{1}{2} y + 4. \]
\textbf{Affirmation 1 :} Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par : \[ f(x) = k \e^{\frac{1}{2} x} - 8, \text{ avec } k \in \R. \]
\item Dans une classe de terminale, il y a 18 filles et 14 garçons.
On constitue une équipe de volley-ball en choisissant au hasard 3 filles et 3 garçons.
\textbf{Affirmation 2 :} Il y a \num{297024} possibilités pour former une telle équipe.
\item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ v_{n} = \frac{n}{2 + \cos (n)}. \]
\textbf{Affirmation 3 :} La suite $\left(v_{n}\right)$ diverge vers $+\infty$.
\item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$, on considère les points ${A(1; 1; 2)}$, ${B(5; -1; 8)}$ et ${C(2; 1; 3)}$.
\textbf{Affirmation 4 :} $\vect{AB} \cdot \vect{AC} = 10$ et une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ est $30^{\circ}$.
\item On considère une fonction $h$ définie sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ dont la dérivée seconde est définie sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[ h^{\prime \prime}(x) = x \ln (x) - 3x. \]
%
\textbf{Affirmation 5 :} La fonction $h$ est convexe sur $\IntervalleFO{\e^3}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Annexe Exercice 3} %exoannexe3
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=12.5cm,y=12.5cm,Xmin=0,Xmax=1.025,Xgrille=0.1,Xgrilles=0.1,Ymin=0,Ymax=1.025,Ygrille=0.1,Ygrilles=0.1]
%courbes
\TracerAxesGrilles{auto}{auto}
\TracerCourbe[Couleur=red,Debut=0,Fin=1]{x^0*exp(-x)}
\TracerCourbe[Couleur=orange,Debut=0,Fin=1]{x^1*exp(-x)}
\TracerCourbe[Couleur=purple,Debut=0,Fin=1]{x^2*exp(-x)}
\TracerCourbe[Couleur=violet,Debut=0,Fin=1]{x^10*exp(-x)}
\TracerCourbe[Couleur=blue,Debut=0,Fin=0.99965]{x^100*exp(-x)}
%labels
\PlacerTexte[Couleur=red,Position=above right]{(0.7,0.5)}{$C_{0}$}
\PlacerTexte[Couleur=orange,Position=below right]{(0.7,0.4)}{$C_{1}$}
\PlacerTexte[Couleur=purple,Position=below right]{(0.7,0.3)}{$C_{2}$}
\PlacerTexte[Couleur=violet,Position=right]{(0.8,0.1)}{$C_{10}$}
\PlacerTexte[Couleur=blue,Position=above right]{(0.9,0)}{$C_{100}$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
\end{document}