% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3,4}
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\def\repartpts{5,5,5,5}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Probabilités conditionnelles / Suites / Python},
{Exponentielle / Variations / Convexité},
{Espace},
{Vrai\&{}Faux}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
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%transcription principale faite par mistral.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} - Sujet \numsujet}}
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\setlength{\parindent}{0pt}
%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
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\newcommand\pta[1]{(#1)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\usepackage{forest}
\forestset{
fleche/.style = {edge={thick}},
aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
bproba/.style = {edge label = {node[below=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
}
\tikzset{
ptcroix/.pic = {
\draw[rotate = 45] (-#1,0) -- (#1,0);
\draw[rotate = 45] (0,-#1) -- (0, #1);
}
}
\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
(c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
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\newcommand\qcm[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 & (c)~~#3 & (d)~~#4 \\
\end{tblr}
}
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\usepackage{twemojis}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1.5cm]{memo}}}%
\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.625\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1.5cm]{memo}} ;}]
L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\usetikzlibrary{hobby}
\usepackage{scontents}
%script python
\begin{scontents}[overwrite,write-out=po2025j2exo1.py]
def simulation(n):
donnee = 1
liste = [donnee]
for k in range(n):
if rand() < 0.1:
donnee = 1 - donnee
liste.append(donnee)
return liste
\end{scontents}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{poly.v2}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1
\medskip
Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $10^{-3}$ près.
\smallskip
Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs: 0 ou 1.
Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre.
Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c'est-à-dire en transmettant l'information telle qu'elle l'a reçue (1 devient 1 et 0 devient 0), soit de façon contraire (1 devient 0 et 0 devient 1).
La transmission est fidèle dans $90\,\%$ des cas, et donc contraire dans $10\,\%$ des cas.
Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur 1.
\textbf{Partie A}
Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note :
\begin{itemize}
\item $V_{n}$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur 1 »;
\item $\overline{V_{n}}$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur 0 ».
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.
\begin{Centrage}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[semithick]
\tikzstyle{noeud}=[]
\tikzstyle{feuille}=[]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,sloped]
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.25)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-0.75)*\DistanceInterFeuilles}
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$V_1$};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$V_2$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$V_3$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{V_3}$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{V_2}$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$V_3$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{V_3}$};
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette,above] {\numdots};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette,above] {\numdots};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette,below] {\numdots};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette,below] {\numdots};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette,above] {\numdots};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette,below] {\numdots};
\end{tikzpicture}
\end{Centrage}
\item Démontrer que $P\left(V_{3}\right)=0,82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur 1.
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note $p_{n}=P\left(V_{n}\right)$.
La première machine a reçu la valeur 1, on a donc $p_{1}=1$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ : \[ p_{n+1}=0,8 p_{n}+0,1. \]
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, \[ p_{n}=0,5 \times 0,8^{n-1}+0,5. \]
\item Calculer la limite de $p_{n}$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{Partie B}
Pour modéliser en langage \textsf{Python} la transmission de la donnée binaire décrite en début d'exercice, on considère la fonction \AffVignette[Type=py]{simulation} qui prend en paramètre un entier naturel \AffVignette[Type=py]{n} qui représente le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.
On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction.
On rappelle que l'instruction \AffVignette[Type=py]{rand()} renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle $\IntervalleFO{0}{1}$.
\smallskip
\CodePythonLstFichierAlt[12cm]{center}{po2025j2exo1.py}
\smallskip
Par exemple, \AffVignette[Type=py]{simulation(3)} peut renvoyer \AffVignette[Type=py]{[1, 0, 0, 1]}. Cette liste traduit :
\begin{itemize}
\item qu'une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines ;
\item la première machine qui détient la valeur 1 a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième machine ;
\item la deuxième machine a transmis la donnée qu'elle détient de façon fidèle à la troisième ;
\item la troisième machine a transmis de façon contraire la donnée qu'elle détient à la quatrième.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessus.
\item Calculer la probabilité que \texttt{simulation(4)} renvoie la liste \AffVignette[Type=py]{[1, 1, 1, 1, 1]} et la probabilité que \AffVignette[Type=py]{simulation(6)} renvoie la liste \AffVignette[Type=py]{[1, 0, 1, 0, 0, 1, 1]}.
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{2}{+\infty}$ par \[ f(x) = x \ln (x-2).\]
Une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=0.2cm,Xmin=0,Xmax=8.75,Ymin=-17,Ymax=17,Ygrille=5]
\TracerAxesGrilles[Grille=false]{auto}{-15,-10,...,15}
\TracerCourbe[Couleur=red,Debut=2.0001,Pas=0.01]{x*ln(x-2)}
\PlacerTexte[Couleur=red]{(7.75,15)}{$\mathcal{C}_{f}$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
\begin{enumerate}
\item Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$, ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $\IntervalleOO{2}{+\infty}$.
\item Calculer $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x > 2}} f(x)$.
Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1.?
\item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $\IntervalleOO{2}{+\infty}$ : \[ f^{\prime}(x) = \ln (x-2) + \frac{x}{x-2}. \]
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{2}{+\infty}$ par $g(x) = f^{\prime}(x)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $\IntervalleOO{2}{+\infty}$, on a : \[ g^{\prime}(x) = \frac{x-4}{(x-2)^{2}}. \]
\item On admet que $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x > 2}} g(x) = +\infty$ et que $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$.
En déduire le tableau des variations de la fonction $g$ sur $\IntervalleOO{2}{+\infty}$. On fera apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $g$.
\item En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $\IntervalleOO{2}{+\infty}$, $g(x) > 0$.
\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\IntervalleOO{2}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\IntervalleOO{2}{+\infty}$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.
\item Combien de valeurs de $x$ existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de $f$ admet une tangente de coefficient directeur égal à 3?
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3
\medskip
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$.
On considère les points suivants : \[ A(1; 3; 0), \quad B(-1; 4; 5), \quad C(0; 1; 0) \quad \text{et} \quad D(-2; 2; 1)
\]
%
\begin{enumerate}
\item Montrer que les points $A, B$ et $C$ déterminent un plan.
\item Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point $D$ et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
\item Justifier que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne : \[ 2x - y + z + 1 = 0.\]
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
\end{enumerate}
\item On appelle $H$ le point de coordonnées $\left(-\frac{2}{3}; \frac{4}{3}; \frac{5}{3}\right)$.
Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
\item On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3} B \times h$, où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est sa hauteur relative à cette base.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $DH = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$.
\item En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$.
\end{enumerate}
\item On considère la droite $d$ de représentation paramétrique : \[ \begin{cases} x = 1 - 2k \\ y = -3k \\ z = 1 + k \end{cases}~\text{ où } k \text{ décrit } \R. \]
%
La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles?
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4
\medskip
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
\begin{enumerate}
\item Soient $E$ et $F$ les ensembles $E = \{1;2;3;4;5;6;7\}$ et $F = \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$.
\smallskip
\textbf{Affirmation n°1} : Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à 4 éléments de $F$.
\item
Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a représenté la fonction carré, notée $f$, ainsi que le carré $ABCD$ de côté 3.
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.5cm,y=0.5cm,Xmin=-4.5,Xmax=3.75,Ymin=0,Ymax=10]
\fill[blue!5] (0,0) rectangle (3,3) ;
\TracerAxesGrilles[Grille=false,Derriere]{}{}
\DefinirCourbe[Nom=cf]< f >{x^2}
\TracerIntegrale[Couleurs=darkgray/gray,Style=hachures]{f(x)}{0}{3}
\TracerCourbe[Couleur=red]{f(x)}
\TracerAxesGrilles[Grille=false,Devant,Police=\footnotesize]{-4,-3,...,3}{1,2,...,9}
\draw[pflcourbe,blue] (0,0) rectangle (3,3) ;
\draw (0,0) node[blue,inner sep=1pt,below left,font=\footnotesize] {$A$} ;
\draw (3,0) node[blue,inner sep=1pt,below right,font=\footnotesize] {$B$} ;
\draw (3,3) node[blue,inner sep=1pt,above right,font=\footnotesize] {$C$} ;
\draw (0,3) node[blue,inner sep=1pt,above left,font=\footnotesize] {$D$} ;
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
\textbf{Affirmation n°2} : La zone hachurée et le carré $ABCD$ ont la même aire.
\item On considère l'intégrale $J$ ci-dessous : \[ J = \int_{1}^{2} x \ln (x) \dx. \]
\textbf{Affirmation n°3} : Une intégration par parties permet d'obtenir : $J = \dfrac{7}{11}$.
\item Sur $\R$, on considère l'équation différentielle \[ (E)~:~y^{\prime} = 2y - \e^{x}. \]
\textbf{Affirmation n°4} : La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \e^{x} + \e^{2x}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item Soit $x$ donné dans $\IntervalleFO{0}{1}$. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ u_{n} = (x-1) \e^{n} + \cos (n). \]
\textbf{Affirmation n°5} : La suite $\left(u_{n}\right)$ diverge vers $-\infty$.
\end{enumerate}
\end{document}