% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{Gé.}
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\newcommand{\mois}{septembre}
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\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3,4}
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\def\repartpts{5,5,4,6}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Probabilités / Loi binomiale / Bienaymé-Tchebychev},
{Suites / Fonction homographique / Python},
{Vrai ou Faux / Géométrie dans l'espace},
{Équation différentielle / Fonction exponentielle}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
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\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
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\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.625\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1.5cm]{memo}} ;}]
L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
% Script Python exercice 2
\begin{scontents}[overwrite,write-out=me2026rj1exo2.py]
def seuil():
n = 0
u = 1
while ... :
n = n + 1
u = ...
return ...
\end{scontents}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{fr.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================
\medskip
\textit{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.
Les parties A, B et C sont indépendantes les unes des autres et peuvent donc être traitées séparément.}
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
On s'intéresse au respect des délais de livraison de colis à domicile dans une agglomération. Une étude a permis d'établir que :
\begin{itemize}
\item lorsque le livreur est expérimenté, le délai de livraison est respecté pour $95\,\%$ des colis ;
\item lorsque le livreur est débutant, le délai de livraison est respecté pour $75\,\%$ des colis.
\end{itemize}
Dans une entreprise qui emploie ses propres livreurs parmi lesquels $60\,\%$ sont expérimentés et les autres sont débutants, on s'intéresse à une livraison choisie au hasard.
On note :
\begin{itemize}
\item $E$ l'événement : \og la livraison est effectuée par un livreur expérimenté \fg{} ;
\item $R$ l'événement : \og le délai de livraison est respecté \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(E \cap R)$. On pourra s'appuyer sur un arbre de probabilité.
\item Justifier que $P(R) = 0{,}87$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Sachant qu'un colis a été livré en respectant les délais de livraison, quelle est la probabilité qu'il ait été livré par un livreur expérimenté ?
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Dans le but d'améliorer le service livraison, l'entreprise analyse un échantillon de $200$ livraisons prises au hasard parmi celles effectuées par un livreur expérimenté sur une période donnée. On rappelle que la probabilité qu'un livreur expérimenté respecte les délais de livraison est $95\,\%$.
On suppose que le nombre de colis est assez important pour que l'on puisse assimiler le choix de cet échantillon à des tirages successifs avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de colis livrés en respectant les délais de livraison parmi les $200$ livraisons de cet échantillon.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item L'événement \og tous les colis ont été livrés en respectant les délais de livraison \fg{} est-il un événement impossible ? Justifier.
\item Donner $P(X \geqslant 190)$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C}
\medskip
Deux zones géographiques sont desservies sans que les livraisons dans l'une n'aient d'incidence sur celles dans l'autre :
\begin{itemize}
\item en zone A, les délais de livraison sont respectés dans $85\,\%$ des cas ;
\item en zone B, les délais de livraison sont respectés dans $90\,\%$ des cas.
\end{itemize}
L'entreprise observe $120$ livraisons effectuées en zone A et $80$ livraisons effectuées en zone B.
On note :
\begin{itemize}
\item $X_A$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de colis livrés respectant les délais de livraison en zone A ;
\item $X_B$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de colis livrés respectant les délais de livraison en zone B ;
\item $S = X_A + X_B$ la variable aléatoire donnant le nombre total de colis livrés respectant les délais de livraison.
\end{itemize}
On admet que $X_A$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(120;0{,}85)$ et que $X_B$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(80;0{,}90)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance et la variance des variables $X_A$ et $X_B$.
\item Calculer $E(S)$.
\item Quelle condition permet d'affirmer que $V(S) = 22{,}5$ ?
\item À l'aide d'une inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minorer $P(S \in [165;183])$ et interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-3;+\infty\right[$ par : $f(x) = \dfrac{2x}{x+3}$.
On admet que $f$ est dérivable sur $\left]-3;+\infty\right[$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier, en détaillant les calculs, que pour tout réel $x$ de $\left]-3;+\infty\right[$, $f'(x) = \dfrac{6}{(x+3)^2}$.
En déduire que $f$ est croissante sur $\left]-3;+\infty\right[$.
\end{enumerate}
Soit $\suiten$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = f(u_n)$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier $n$, on a : $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1$.
\item En déduire que $\suiten$ est convergente.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n \neq 0$.
On note $\suiten[v]$ et $\suiten[w]$ les suites définies pour tout entier naturel $n$ par :
\[
v_n = \frac{1}{u_n} \quad \text{et} \quad w_n = v_n+1
\]
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = \dfrac{3}{2}v_n+\dfrac{1}{2}$.
\item Démontrer que $\suiten[w]$ est une suite géométrique dont on précisera les paramètres.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_n = \frac{1}{2\left(\frac{3}{2}\right)^n-1}
\]
\item Déterminer la limite de la suite $\suiten$.
\item
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le script suivant de telle sorte que la fonction \textsf{seuil()} renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n$ soit inférieur ou égal à $10^{-3}$.
\medskip
\CodePythonLstFichierAlt[6cm]{center}{me2026rj1exo2.py}
\item Quelle est la valeur renvoyée par la fonction \textsf{seuil()} ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)}
%===============================================================
\medskip
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Les affirmations sont indépendantes.}
\medskip
\textit{Pour toutes les questions, l'espace est muni d'un repère orthonormé.}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Soit $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$, $\vect{v}\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{w}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ trois vecteurs de l'espace.
\smallskip
\textbf{Affirmation 1 :}
Les vecteurs $\vect{u}$, $\vect{v}$ et $\vect{w}$ forment une base de l'espace.
\item Soit quatre points de l'espace :
\[
A(1;2;3), \quad B(2;0;1), \quad C(0;1;2), \quad D(0;4;-1)
\]
On admet que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
\smallskip
\textbf{Affirmation 2 :}
La droite $(CD)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
\item Soit $d$ une droite de l'espace dont une représentation paramétrique est :
\[
\begin{cases} x = 2t \\ y = -2+4t \\ z = -2+t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}
\]
Soit $P_1$ le plan de vecteur normal $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ et passant par $E(1;1;-1)$.
\smallskip
\textbf{Affirmation 3 :}
L'intersection de la droite $d$ et du plan $P_1$ est le point $M(2;2;-1)$.
\item Soit $N(2;0;-2)$ et $H(1;-2;0)$ deux points de l'espace.
Soit $P_2$ le plan d'équation cartésienne $x+2y-2z+3=0$.
\smallskip
\textbf{Affirmation 4 :}
La distance de $N$ au plan $P_2$ est $NH$.
\end{enumerate}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)}
%===============================================================
\medskip
\textit{On peut traiter indépendamment les parties A et B.}
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
On considère l'équation différentielle :
\[
(E) : 2y' + 3y = 8\e^{-\frac{3}{2}t}
\]
où $y$ est une fonction de la variable $t$ et elle est définie et dérivable sur $[0;+\infty[$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'intervalle $[0;+\infty[$ l'équation différentielle $(E')$ : $2y'+3y=0$.
\item Soit $f$ la fonction dérivable sur $[0;+\infty[$, définie par $f(t) = 4t\e^{-\frac{3}{2}t}$.
On admet que cette fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
On considère une fonction $g$ définie et dérivable sur $[0;+\infty[$.
Démontrer que :
\og $g$ est solution de $(E)$ \fg{} est équivalent à \og $g-f$ solution de $(E')$ \fg.
\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer toutes les solutions de $(E)$ qui s'annulent en $0$.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Un essai clinique est réalisé auprès de plusieurs patients volontaires afin de valider ou non l'efficacité d'un médicament. On demande au patient d'avaler le médicament sous la forme d'un comprimé de $1$~mg puis on étudie la quantité de ce médicament présente dans le sang au cours du temps.
La quantité de ce médicament en fonction du temps écoulé après la prise du comprimé, en mg, est modélisée par la fonction $f$ dérivable sur $[0;+\infty[$, définie par :
\[
f(t) = 4t\e^{-\frac{3}{2}t}, \quad t \text{ étant exprimé en heures.}
\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t\to+\infty} f(t)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier en détaillant les calculs que pour tout réel $t$ positif,
\[
f'(t) = (4-6t)\e^{-\frac{3}{2}t}
\]
\item Étudier le signe de la dérivée et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$.
\item Au bout de combien de temps la quantité de ce médicament présente dans le sang est-elle maximale ?
\end{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $f(t) = 0{,}5$ admet une unique solution sur $[1;3]$.
Donner un encadrement de cette solution, notée $\alpha$, à $10^{-2}$ près.
\item L'essai clinique sera validé si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{itemize}
\item \textbf{Condition 1 :} $50\,\%$ de la quantité du médicament est éliminée de l'organisme au plus tard $2$ heures après la prise du comprimé.
\item \textbf{Condition 2 :} la quantité moyenne du médicament présente dans le corps du patient entre $1$ heure et $3$ heures après la prise du comprimé est inférieure à $0{,}40$~mg.
\end{itemize}
La condition 1 est-elle réalisée ?
La condition 2 est-elle réalisée ?
\end{enumerate}
\end{document}